—  185  — 
Abbiasi  ora  una  qualunque  superficie  S  applicabile  sul  paraboloide  [di 
elemento  lineare  (2)],  e  siano  (u  ,  v)  le  linee  asintotiche  di  S,  per  i  cui 
parametri  u ,  v  intendiamo  espresse  x0 ,  I  0 .  Sussistono  allora  le  equazioni 
caratteristiche  di  Darboux  per  le  asintotiche  virtuali  (*)  : 
Mogg  (11)" 
DM  |_  Da?0 
,  ri  piogg 
+l_2 
+ 
Dio 
(D) 
D2lo 
Dy 
(2)  ìu  Dy 
(  1  ) _J  Dm  Dy 
_  (i2n/^0 Ho 
"  j  1  i J  \  Dm  Dy  *" 
+ 
D&'o  Dio 
Dy  Dm 
(22)  Dio 
^  1  )    ~Ì)U  1)V 
r\  p  log  e  _  C12H  /  ìu^  d|^  ,  ^0  d!o\  . 
'  |_2     Dm         /  2  i  J  \  Dm  Dy        Dy    Dw  / 
+ 
D  log  £> 
Dl0 
(22)" 
2 
Dio  Dio 
Dm  Dy 
Viceversa,  se  le  due  funzioni  (m  ,  y)  ,  |0  =  |0(m  ,  y)  soddisfano  le  (D) 
e  sono  indipendenti,  le  linee  (u ,  v)  tracciano  sul  paraboloide  un  sistema  di 
asintotiche  virtuali,  cui  corrisponde  un'unica  deformata 
Introducendo  nelle  (D)  pei  simboli  di  Christoffel  e  per  q  i  valori  sopra 
calcolati,  queste  diventano 
P 
D^<#o 
Dm  D«      1  +  x\  +  | 
/   D»o  ^0  1  D£q  \ 
0  \    Dm  Dy  ~i~  ^  Dm  Dy  ' 
+ 
+ 
(3) 
1+4  +  ?; 
/  ^)X0  D|p     1    p3?0  Dio 
\  Dm  Dy       Dy  D« 
D2I0 
lo 
Dm  Dy     1  +  x\  +  li 
(DXo  DiCo   1      Dio  Dio  \  1^ 
+ 
y^'o 
1+^  +  1 
_  /Dg0  Dio  ,  DXo  Dio  \ 
0  \  DM   Dy        Dy   DM  / 
Supponiamo  ora,  di  più,  che  la  S  sia  rigata,  sicché  le  sue  asintotiche 
di  un  sistema  saranno  rettilinee;  poniamo  le  y  =  cost,  ed  esse  corrispon- 
deranno alle  generatrici  di  un  sistema  sul  paraboloide,  diciamo,  p.  es.,  alle 
Vpx0  +  ì/q£0  =  cost . 
In  tal  caso  dovrà  essere  ]/p  x0  +  ]/q  |0  funzione  della  sola  v,  cioè 
(4)  ^  —  +  1^  =  0; 
'  r  Dm   1  '  1  Dm 
(•)  Ved.  la  traduzione  tedesca  delle  mie  Lezioni  (2*  ediz.  pag.  214). 
