—  188  — 
Riassumendo,  abbiamo  per  le  quattro  funzioni  incognite  Xt> ,  £0 1  ,  t( 
il  seguente  sistema  differenziale  lineare  ed  omogeneo: 
(IO) 
~ÒXq 
~òu 
_  _f!_ 
'  Vi 
(^o  +  Co) 
^0 
e8 
Vi 
1>Vq 
~òu 
il) 
1)%q 
-  _2s_ 
Co 
~ÒV 
(#0  ?o  \ 
t/|    Vìi  ' 
DCo  1)6        .  £0 
In  fine,  formando  le  condizioni  d'integrabilità  ancbe  per  f]o,£e,  tro- 
viamo l'unica  equazione  per  6 
l>2d 
~òu  ~òv 
che  ha  appunto  l'annunciata  forma  di  Liouville.  Per  semplicità,  noi  sosti- 
tuiamo al  paraboloide  un  paraboloide  simile,  ponendo  fra  i  parametri  p ,  q 
la  relazione 
(11)  -  +  -=1, 
p  q 
talché  l'equazione  di  Liouville  assume  la  forma  normale 
a) 
y  '  l>u~bv 
3.  Inversamente  prendiamo  per  0  una  qualunque  soluzione  della  (I). 
Il  sistema  lineare  omogeneo  nelle  quattro  funzioni  incognite  x ,  ì ,  i? ,  C  di 
u ,  v  : 
Vi, 
(A) 
—     —  en 
(— 
\Vv 
1)0 
X 
tv 
Vi1 
li 
1)0 
iv 
