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risulta  illimitatamente  integrabile  e,  per  fissare  una  quaderna  (x  ,  £  ,  i\ ,  £) 
di  soluzioni,  basta  prescrivere  ad  arbitrio,  per  un  sistema  iniziale  (u0  v<>) 
ai  valori  delle  variabili,  i  valori  di  x  ,  £ ,  r; ,  f  . 
D'altra  parte,  il  sistema  (A)  possiede,  come  subito  si  verifica,  l'inte- 
grale quadratico 
(12)  x*  -f  £!  +  j?s  —  £*=  cost  , 
ed  alla  costante  del  secondo  membro  si  può  dare,  disponendo  dei  valori 
iniziali,  un  valore  arbitrano.  Ad  ogni  quaderna  di  soluzioni  (x0 ,  £„ .  r]Q  :  £o) 
per  la  quale  la  detta  costante  abbia  il  valore  — 1,  corrisponderà,  per  quanto 
si  è  visto,  una,  ed  una  sola  deformata  rigata  del  paraboloide  iperbolico. 
E  poiché  in  una  tale  quaderna  (x0 ,  ? 0 ,  rj0 ,  f0)  restano  ancora  arbitrarie  tre 
costanti  d'integrazione,  concludiamo: 
Ad  ogni  soluzione  6  della  equazione  (I)  di  Liouville  corrisponde  una 
tripla  infinità  di  deformate  rigate  del  paraboloide  iperbolico;  ad  ogni 
deformata  rigata  corrisponde  una  sola  soluzione  6  dell'equazione  di 
Liouville. 
4.  La  ricerca  delle  forinole  effettive  per  le  deformate  rigate  del  para- 
boloide corrispondenti  ad  una  data  soluzione  (f  della  (I)  può  spingersi  più 
oltre  sino  ad  ottenere  queste  forinole  espresse  per  quadrature,  fondandosi 
sulle  considerazioni  seguenti  : 
Dall'essere  il  sistema  (A)  lineare  omogeneo,  coli' integrale  quadratico 
(12),  risulta  che,  indicando  con  (x  ,  £  ,  rj ,  £)  e  (#',£',»/,  £')  due  quaderne 
qualunque  di  soluzioni,  distinte  ovvero  coincidenti,  sarà  costante  l'espres- 
sione (') 
Sì  =  xx'  +  W  +  irf  —  K' . 
Noi  diremo  che  le  due  quaderne  sono  armoniche  se  si  annulla  l'espres- 
sione Sì.  Si  osservi  che,  se  si  interpretano  x  ,  £  ,  rj ,  £  quali  coordinate  omo- 
genee di  un  punto  nello  spazio,  ciascuna  quaderna  di  soluzioni  (a:,£,i7,£) 
fissa,  per  ogni  sistema  di  valori  di  u,v,  un  punto  nello  spazio,  onde  si 
otterranno  due  quaderne  armoniche  di  soluzioni 
scegliendone  i  valori  iniziali  per  modo  che  i  due  punti  rappresentativi  cor- 
rispondenti siano  coniugati  armonici  rispetto  alla  quadrica  (Q)  di  equazione 
(Q)  *'-R*  +  i?*-£8  =  o. 
(')  Basta  osservare  che  si  ha  pure  la  soluzione 
(ax  -f  bx'  ,  af  +  òr  ,  ay  +  brj'  ,  ai  +  if) , 
con  a  ,  b  costanti  arbitrarie. 
