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È  anche  da  osservare  che  questa  quadrica  è  a  punti  ellittici;  ed  un  punto 
(x  ,  £ ,  t] ,  £)>  che  non  giaccia  su  (Q),  sarà  esterno  od  interno,  secondo  che 
la  costante  del  secondo  membro  in  (12)  è  positiva  o  negativa.  Disponendo 
del  fattore  costante  arbitrario  in  x  ,£,»/,  C  ,  noi  intenderemo  di  normalù 
gare  queste  coordinate  col  rendere 
xi  -j-  ? 2  -j-  ry2  —  £2  =  1  nei  punti  esterni, 
x2  -j-  £'  -f-  j?2  —  £2  =  —  1    nei  punti  interni. 
Ciò  posto,  consideriamo  un  qualunque  tetraedro  P0  P,  P2  P3  autoconiugato 
rispetto  alla  quadrica  (Q),  onde  [essendo  (Q)  a  punti  ellittici]  uno  dei 
quattro  vertici,  poniamo  P0 ,  sarà  interno  a  (Q);  gli  altri  tre,  P,,P2,P3, 
esterni.  Ed  ora,  corrispondentemente  ai  quattro  vertici  Pr,  prendiamo  quattro 
quaderne 
(Xr  ,  ìr  ,  ì]r  ,  £r)  r  =  0,  1,  2,  3 
di  soluzioni  normalizzate  delle  (A),  che  si  riducano  rispettivamente,  per 
u  =  u„  ,  v  =  y„ ,  alle  coordinate  dei  quattro  vertici.  Così  avremo  quattro 
quaderne  di  soluzioni,  due  a  due  armoniche,  che  diremo  formare  un  tetraedro 
coniugato  di  soluzioni.  Ne  consegue  che  il  determinante 
(13) 
x0  ]/—  1 
;  no  \  — 1 
1  ^0 
Xì 
11 
»  »?i 
-  1'- 
1 
X% 
£2 
,  >/2 
1 
X% 
h 
»/S  , 
—  j7— 
1 
sarà  ortogonale  per  linee,  indi  anche  per  colonne,  ed  in  particolare  sussi- 
steranno le  forinole 
j     .aH-.rl  +  ^23=l  +^ 
(14)  -R2  +  f!=l+i-2 
f  Xi  £,  -4-  x2£2  -(-  x-3£3  =  Xofc  • 
5.  Corrispondentemente  al  tetraedro  coniugato 
(#r  ,  ?r  *^  ,  &)  ?"  ==  0,1,2,3 
di  soluzioni  delle  (A),  consideriamo  le  tre  espressioni  differenziali 
pxi  dx0  —  qti  dta 
(*'■-=; l  ,2,3), 
