che  risultano  differenziali  esatti.  E  invero  abbiamo,  per  le  (A), 
pxi  dx0  —  (jh  d$0  =  —  e9(??o  +  fo)  (j 'pw  +  V Q  ft)  du  + 
+  W PVoXi  —  Vq  f o  h)  dv  ; 
e  si  ha  identicamente,  per  le  (A)  stesse, 
Yu  (1  PVo  X0  -  ^7  te  F<)  =  -  ~  [Vft.  +  Co)  {fa*  +       fc)]  = 
=  _  A]  (|/-t,c.  +  t/-f.)  _  ,e(    +  Co)  (    +  f|) . 
Vi^    x  <j' 
Se  indichiamo  con  yx  ,  ?/2  ,  >/3  le  rispettive  funzioni  di  u,v,  di  cui  le 
tre  dette  espressioni  sono  i  differenziali  esatti,  abbiamo 
(15)  dì/ì==pxidx0  —  qhd£0  (2  =  1,2,3); 
ovvero,  esprimendo  per  u  .  v  , 
(  ^  =  -^o+£o)(l/^  +  t/?à) 
(16)  ^  [(«  =  1,2, 3) 
formole  che  definiscono  yx  ,  y2 ,  a/3  per  quadrature,  a  meno  di  tre  rispettive 
costanti  additive.  Kisulta  inoltre,  dal  calcolo  sopra  eseguito,  la  forinola 
<17>    ^  =  *6 (vT  -  ìr\  iti  Xi  +  ^ &>  ~      + ^    +  W  • 
Ed  ora  interpretiamo  «/i  ,  z/2 ,  z/3  quali  coordinate  cartesiane  ortogonali 
di  un  punto  nello  spazio.  Questo  punto  P  =  (yx  .  y?  ,  y3)  descrive,  al  variare 
di  u,v,  una  superfìcie  S,  il  cui  ds2  calcolato  dalla  (15),  con  riguardo  alle 
(14),  è  dato  da 
ds*  =  p2(l  +  xl)  dxl  —  2pq  x0  £0  dx0  rf£0  +  q\l  +  $)  , 
cioè  combina  per,  la  (2),  col  ds2  del  paraboloide  iperbolico.  Ma  siccome 
dalle  (A)  segue 
■^{Vpxr+Ì  q$r)  =  0         (r  =  0, 1,2,3). 
dalle  (16j)  vediamo  che,  sulla  S,  ciascuna  linea  v  =  cost  ha  costanti  i  coseni 
di  direzione  della  tangente,  ed  è  per  ciò  una  linea  retta  cui  corrisponde 
sul  paraboloide  una  generatrice 
)/px0-\-  j/q  £0  ==  cost  ; 
Rendiconti.  1914,  Voi.  XXIII,  2°  Sem.  26 
