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dunque  :  La  superficie  S,  definita  per  quadrature  dalle  (16),  è  una  defor- 
mata rigata  del  paraboloide,  le  asintotiche  rettilinee  v  —  cost  corrispon- 
dendo alle  generatrici  del  primo  sistema  \/p  x0  -f-  ]/ q  £„  =  cost . 
6.  Confermiamo  quest'  ultimo  risultato  e  in  pari  tempo  proviamo  che 
le  u  =  cost  sono,  sulla  S ,  le  seconde  asintotiche  (curvilinee),  come  segue  : 
I  coseni  di  direzione,  che  diciamo  Y1  ,  Y2  ,  Y3 ,  della  normale  alla  S , 
sono  dati,  per  le  (16),  dalle  formole 
Y  _  Vo  &  —  Co  Vi  __   i]o  d  —  Co  Vi  . 
VCl  —  rjl       '  ,/l  +4+7°  ' 
e  se  li  normalizziamo,  come  nelle  formole  di  Lelieuvre  (Lesioni,  voi.  I, 
§  77),  col  moltiplicarli  per 
i/q  =Vpq  .  |/1  -Mo  -r-'£o  » 
essi  risultano  proporzionali,  pel  fattore  costante  \/pq  ,  ai  tre  binomii 
(18)  a;  =  rj0  Ci  —  Co  Vi  • 
Dalle  (A)  deduciamo,  per  le  derivate  delle  a,-,  le  formole 
?r:  =  -7=  {Co  vi  —  xo  &)  +  -7=  (^0  ff  —  £<>  • 
<W      yp  y# 
(19) 
e  di  qui  le  identità 
—  7)^  '    —  7>y  7>y 
le  quali  provano  appunto  che  sulla  S  le  linee  (u ,  y)  sono  le  asintotiche. 
Se  calcoliamo  poi  dall'una  0  dall'altra  delle  (19)  la  derivata  seconda 
da- 
mista —  ,  troviamo  semplicemente 
=  en .  ccì  . 
Si  vede  dunque  che,  per  tutte  le  deformate  rigate  del  paraboloide, 
nell'equazione  di  Moutard  per  le  deformazioni  infinitesime  (Lesioni,  voi.  II, 
§  226): 
3'0  =  me , 
il  coefficiente  M  =  eò  soddisfa  alla  equazione  di  Liouville 
M  . 
y  log  m 
