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Ne  segue  che  le  oo3  deformate  rigate  corrispondenti  ad  una  stessa  0  hanno 
a  comune  l'equazione  per  le  deformazioni  infinitesime. 
7.  Colle  formole  attuali  passiamo  ora  ad  esprimere  le  trasformazioni  Bh 
della  teoria  generale  {Lezioni,  voi.  Ili,  cap.  I)  per  le  superficie  rigate  ap- 
plicabili sul  paraboloide.  Possiamo  limitarci  a  considerare  il  caso  che  il 
parametro  k  nel  paraboloide  omofocale 
V!  V2 
X  ^  2Z-k 
sia  positivo,  compreso  fra  (0,jo),  poiché  l'altro  caso  di  k  giacente  nell'in- 
tervallo (—  q  .  0)  si  ottiene  scambiando  p  con  q . 
È  chiaro  che  le  indicate  trasformazioni  Bft  dovranno  corrispondere  a 
formole  di  trasformazione  per  le  soluzioni  della  equazione  di  Liouville.  Queste 
si  ottengono  semplicemente  come  segue:  Indicando  con  c  una  costante  arbi- 
traria (non  nulla),  si  consideri  nella  coppia  (0  ,  0')  di  funzioni  incognite  di 
u  ,  v  il  sistema  di  equazioni 
(II) 
W  -  e)  8 
—5  —  2ce  2 
~òv  c  2 
dalle  quali,  derivando  la  prima  rapporto  a  v ,  la  seconda  rapporto  ad  u ,  e 
sottraendo,  segue 
7>2fl 
~òu  ~òv 
e  sommando,  invece, 
ì20' 
e9' 
Le  formole  (II)  legano  adunque  le  soluzioni  6  ,  6'  della  (I)  per  modo 
che,  fissata  0,  il  sistema  (II)  per  6'  è  completamente  integrabile,  e  la  sua 
soluzione  generale  0',  contenente,  oltre  c,  una  seconda  costante  arbitraria, 
soddisfa  ancora  la  (I). 
Essendo  ora  0,0'  una  tale  coppia  di  soluzioni  della  (I),  legate  dalle  (II). 
abbiasi  in  corrispondenza  alla  prima  soluzione  0  una  deformata  rigata  S  del 
paraboloide  data  dalle  formole  (16)  del  n.  5,  mediante  un  tetraedro  coniugato 
(av  ,£r,i?r,Cr)  (r  =  0 , 1 , 2 ,  3) 
di  soluzioni  del  sistema  (A). 
Ponendo,  per  brevità, 
0'  —  0 
