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11  calcolo  del  valore  del  parametro  k  pel  paraboloide  omofocale  si  ese- 
guisce facilmente  procedendo  come  al  §  89,  voi.  Ili  delle  Lezioni.  Per 
questo  si  cambino  le  formolo  (23)  dalle  coordinate  u ,  v  alle  coordinate 
#o ,  £o  invariabili  per  flessione,  ciò  che  dà 
(25,  +  + 
ove 
2c 
1  =  4^-j_/(i  \  ~  20X0  +  (*  —  «*)  1  P  (Vo  cosh  w  —     senh  <w) 
2<? 
I  <~  —  4C2     ^  _  | 2*  ^=  ?o  —  (1  +  c2)  lfp  (17,  senh  o>  —  u  cosli  »)  j 
Se  si  tien  conto  della  identità 
(rj0  senh  co  —  £0  cosh  &))2  —  (>j0  cosh  <»  —  £0  senh  «)2  =  1  -f-  a  2  -f-  £?,  , 
si  trova  per  k  il  valore  seguente: 
(25)  k  4c2p 
4c2+p{l  —  c2 
Come  si  vede,  è  qui  k  positivo  <Cp,  e  il  valore  singolare  k=p,  appar- 
tenente alla  parabola  focale  del  piano  yz,  corrisponde  a  c2  —  1 . 
8.  In  fine  noteremo  ancora  la  forma  semplice  sotto  cui  si  presenta  qui 
il  teorema  di  permutabilità  per  le  trasformazioni  Bfc  delle  deformate  rigate 
del  paraboloide  iperbolico  (Lesioni,  voi.  Ili,  cap.  IV),  bastando  indicare  il 
corrispondente  teorema  di  permutabilità  per  le  soluzioni  6  della  equazione 
(I)  di  Liouville. 
Siano  Ci  ,  Ci  due  costanti  qualunque,  i  cui  valori  assoluti  siano  però 
diversi 
e  siano  (0  ,  0L)  ,  (0  ,  02)  due  coppie  di  soluzioni  delle  equazioni  di  trasfor- 
mazione (II): 
)  ^i  +  d)  2 
ffi        \     2     !  ìv  e,        \     2  / 
