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l'equazione  diventa  allora  : 
(1)  9(x)  +  l  P"(f  Nfayj  cp(y)  dy  =  f(x)  . 
Tutti  i  teoremi  dimostrati  (')  per  il  caso  in  cui  gl(x)=Q,  e  g%(x) 
fosse  qualunque,  si  possono  senz'altro  ripetere  per  questo  caso  più  generale. 
Si  ritrova  così  tutta  la  teoria  di  alcune  equazioni  considerate  dal  Lalesco 
in  cui  g{(x)  è  compreso  fra  0  ed  x,  e  g2(x)  =  x. 
A  questo  tipo  di  equazioni  (A),  si  può  applicare  un  metodo  già  da  noi 
adoperato  altrove.  Supponiamo,  perciò,  rappresentate  le  curve  £j  =  gx(z) ,  ... 
=  gn(z)  in  un  piano;  supponiamo  che  esista  almeno  un  quadrato  avente 
i  vertici  (w)  ,  (fi fi)  ,  (vfi)  ,  (fiv)  tali  che  nel  suo  interno  sia  compresa  l'ori- 
gine, e  che  ivi  le  curve  g  non  vadano  mai  al  di  fuori  dei  due  lati  paralleli 
all'asse  g.  In  altri  termini,  supponiamo  che  esistano  due  numeri  di  segno 
opposto  v  e  fi  tali  che  se  : 
fi  <_  x  <.  v  , 
si  abbia  anche: 
fi<gr(x)<v.  (r=l  ,2  , ...  ») 
Costruiamo  allora  delle  funzioni  Wr(xy)  tali  che: 
Nr(x?/)    se  y  è  compreso  in  [0  ,  gr(x)^\ 
0       se  y  è  esterno  a  [0  ,  gr(x)~} 
In  tale  ipotesi  l'equazione  (A)  si  può  scrivere: 
<P(x)  +         1 1_  ~Wr(xy)  <p(y)  J  dy  =  f(x). 
Cioè  la  A  è  stata  ridotta  ad  un'equazione  di  Fredholm  di  seconda  specie. 
2.  Tutta  la  discussione  e  la  risoluzione  dell'equazione  (A)  si  può  in 
un  modo  simile  ridurre  all'equazione  (1)  nel  seguente  modo:  Definiamo  due 
funzioni  hx  ed  hi  : 
hi  (x)  =  massimo  fra  i  valori  positivi  delle  funzioni:  0  ,  g\(x) , ...  gr(x)  ; 
ht(x)  =  minimo  fra  i  valori  negativi  dello  stesso  gruppo  di  numeri. 
Siano  inoltre  git(x) ,  g^{x) , ...  g^x)  i  valori  (per  un  certo  x)  di  quelli  fra 
le  g  che  sono  positivi,  disposti  in  ordine  crescente  (si  vede  che  gli  indici  i 
dipendono  da  x);  e  gj{(x) ,  ...  gjv(x)  quelli  negativi. 
Allora  i  nuclei  W  sono  definiti  così  : 
Wp(xy)  =  Np(xy)    per  y  compreso  in  [0  ,  Qp(xY\  ; 
Wp(xy)  =  0  per  y  esterno  a     [0  ,  gp(x)~]  . 
Wr(xy)  = 
(*)  G.  Andreoli,  Rend.  Circ.  Mat.  Palermo,  Sulle  equazioni  integrali,  toni.  XXXVII. 
