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In  particolare  si  vede  che  la  conoscenza  e  l'esistenza  della  </  in  un 
punto  £,  implica  quelle  nei  punti  g(%) ,  g(g{£)) ,  g{g(g^)))         e  quella  nei 
punti  0  ,  0(0) ,  g(g(0)) ,  g.(g(g(Ò))) , ... 
Si  vede  così  che  bisogna  ricercare  i  punti  limiti  dell'operazione  g 
ottenuti  applicando  iteratamente  l'operazione  g  ad  un  punto  qualunque.  Essi 
soddisfano  evidentemente  all'equazione  : 
Le  radici  di  tale  equazione  sono  però  (come  è  noto  anche  dalla  teoria 
delle  trasformazioni  lineari)  di  due  specie:  quelle  provenienti  dall'applica- 
zione indefinita  dell'operazione  g,  che  sono  i  punti-limiti  delle  successioni 
'f        .  .  -  ; 
e  quelle  provenienti  dall'applicazione  dell'inversa  y  (se  esiste)  della  g:  i 
punti-limiti  delle 
n ,  Y(x)  ,  y(y(x))  »••• 
Sieno  ,  ?2  »  ?3 ,  •••  quelli  del  primo  genere,  e  sia  ^  il  punto-limite 
ottenuto  partendo  dal  valore  x  =  0 ,  £9  quello  proveniente  dalla  applicazione 
della  </  ad  un  certo  punto  dell'  intorno  destro  di  0  ;  quello  da  un  altro 
certo  punto  dell'  intorno  sinistro.  Allora  : 
È  possibile  che  la  soluzione  esista  solo  in  quell'intervallo  che  com- 
prende i  punti  %q,%p,  senza  esistere  altrove;  e  l'equazione  si  dirà  rego- 
lare almeno  in  quest'  intervallo. 
Ciò  coincide  con  la  possibilità  della  costruzione  di  quei  tali  quadrati. 
Per  chiarire  e  rissare  le  idee  poniamo: 
g(X)  =  X2  . 
Uno  dei  punti-limiti,  è  lo  zero  stesso;  un  altro  è  l'unità;  il  terzo  è 
l' infinito. 
Allora  sarà  possibile  risolvere  l'equazione  nell'intervallo  (0,1)  senza 
che  sia  risolubile  fuori  di  esso:  perciò  basta  scegliere  N  in  modo  che  l'in- 
tegrale 
jN(,w/)  f(y)  dy , 
esteso  al  limite  infinito  non  converga. 
Le  stesse  cose  si  potrebbero  dire  (come  già  si  era  visto  in  parte)  se 
g(x)  = xk  ,  k  >  0 . 
Cos'i,  più  generalmente,  l'equazione  data  potrebbe  ammettere  soluzione 
in  due  intervalli  staccati  fra  loro.  Basterebbe  infatti  considerare  un  secondo 
intervallo  che  sia  trasformato  nel  primo  j£9  ,  tT ,  ì¥\  mediante  la  g.  Che  ciò 
