—  204  — 
Se  la  linea  P  non  è  un'elica,  allora  i  soli  casi  nei  quali  la  retta  r 
descrive  una  sviluppabile  sono  i  seguenti: 
1°)  la  retta  r  passa  per  0  e  descrive  quindi  un  cono  di  vertice  0; 
2°)  la  retta  r  è  all'infinito  e  in  tal  caso  inviluppa  la  sezione  al- 
l'infinito del  cono  descritto  dalla  retta  0  j  (v  A  f  )  A  v  (  ; 
3°)  la  retta  r  è  parallela  alla  normale  principale  in  P,  e  in  tal 
caso  il  punto  R  sta  nel  piano  OP^; 
4°)  la  retta  r  sta  nel  piano  OPiP3 ,  e  in  tal  caso  il  punto  R  sta 
sulla  parallela  condotta  da  0  alla  generatrice  della  rettificante  in  P . 
Affinchè  la  vetta  r  descriva  una  sviluppabile  è  necessario  e  sufficiente 
[cfr.  (***)]  che  si  abbia 
(5)  r'r'  =  0  ; 
ma  dalla  seconda  forma  della  (4),  si  ha 
r'r'  =  2  0(fv)|fu  =  \  (f  A  v)  X  (f  A  u)  =  —  |  u  X  f .  v  X  f , 
o  o 
e  quindi  la  condizione  (5)  equivale  a 
uXf  .vXf=0 
che  è  verificata  soltanto  nei  casi  seguenti 
v  =  0    ,    u  =  0    ,    uXf=0    ,  vXf=0 
corrispondenti  appunto  ai  casi  1°),  2°),  3°),  4°)  del  teorema. 
11  1°)  caso  è  evidente. 
Per  il  2°)  basta  osservare  che  la  retta  all'  infinito,  posizione  del  bivet- 
tore  jv,  inviluppa  la  sezione  all'infinito  del  cono  inviluppato  dal  piano 
«  =  0]v  e  che  la  caratteristica  in  «  è  appunto  la  retta  [cfr.  (***)] 
tta'  =  (0 j  v)  (Ofv)  =  —  (Ofv)  (0 1 v) 
=— 0f|v.0v  +  0v|v  Òf 
=  ^Ojv2.f  —  vXf.v}  =  ^Oj(vAf)Av{. 
Se  u  X  f  =  0,  risulta  dalla  (1)  che  u  è  parallelo  ad  n  (').  I  due  vet- 
tori f,uAf  che  compariscono  nella  espressione  (3)  di  R,  sono  paralleli 
al  bivettore  bt  e  quindi  R  sta  sul  piano  OP^  . 
(')  f  X  il  =  -  b  X  u  —  -  t  X  u  ;  ma  bXn  .  t  X  »  sono  costanti,  q/t  non  è,  per 
Q  r 
ipotesi,  costante,  e  quindi  fXu  =  0  solo  quando  1)  X  11  =  0  e  tXtl  =  0  cioè  n  è  pa- 
rallelo a  b/\t  =  il . 
