Se  vXf=0,  allora  v  è  parallelo  ad  n,  e  poiché  u  è  normale  a  v, 
risulta  che  u,  come  |v,  è  parallelo  al  bivettore  bt,  cioè  r  sta  nel  piano 
OPiPs.  Dalla  (3)  risulta  subito  che  R  sta  sulla  retta  Of. 
Nel  caso  che  la  linea  P  sia  un 'elica,  la  sua  rettificante  è  un  cilindro, 
e  quindi  f  è  parallelo  ad  un  vettore  costante  k .  Segue  che  i  casi  3°)  e  4°) 
si  accrescono  di  tutte  le  rette  r  per  le  quali  si  ha  u  =  k  A  a ,  oppure 
v  =  k  A  a  con  u  X  k  A  a  =  0 ,  essendo  a  un  vettore  normale  a  k  inva- 
riabilmente collegato  con  t ,  n ,  b ,  ma  arbitrario.  Si  può  osservare  che  le 
indicatrici  sono  circonferenze  ecc.  ;  inoltre  esaminare  i  casi  particolari,  inte- 
ressanti, p  =  ±r  e  Velica  circolare. 
Le  traiettorie  ortogonali  delle  generatrici  della  rigala  r  sono  descritte 
dal  punto 
q  —  0  -j-  ^  |  u  A  V  —  (  fv  X  f  ds)  u  ( 
ohe  dipende  anche  dalla  costante  di  integrazione  ('). 
Dovendo  essere  u  normale  a  v  si  può  fissare  un  vettore  a,  normale 
ad  u  e  invariabilmente  collegato  con  t,n,b,  in  guisa  che 
a  •  i   i        .   ,  u  A  v 
V  =  aAu,  o,  il  che  equivale,  porre  a  =  — ^j—  ; 
essendo  allora 
r  =  Ou  -j-  ;  v  =  Ou  -j-  au  =  (0  -f  a)  u  , 
per  il  punto  Q  si  ha 
Q  =  0  +  a  -f-  xxx , 
con  x  funzione  di  s  tale  che  Q'  X  u  =  0  ;  ma  si  ha 
Q'  x  u  =  { f  A  a  -f  x'xx  -f  xi  A  xx  {  x  u  =  f  X  a  A  u  +  x'xx1 
=  f  X  v  4-  x'xx2  =  0  , 
da  cui  risulta  la  forma  di  Q  ,  perchè  u2  è  costante, 
3.  Avendo  u  il  precedente  significato  ed  essendo  m  numero  reale  co- 
stante, poniamo 
(6)  M  =  0-f-u    ,    a  =  0\xx-JrmSì. 
Il  punto  M  e  il  piano  posizione  di  a ,  sono  invariabilmente  collegati 
con  0  ,  Px  ,  Po ,  P3  ;  il  punto  M  descrive  una  linea  sferica  che  può  chiamarsi 
indicatrice  del  piano  a;  il  piano  «  inviluppa  una  rigata. 
(')  Dalla  identità  V  =  V  X  t .  t  +  V  X  n  •  u  +  V  X  b  .  1>  si  ha 
r    jP,     r»ivxb   vxtj  ,    rds     ...  rds 
JvXf^=J  ,  — ~  —  !^  =  vXb.j  --vxt. j  -, 
e  quindi  Q  si  può  esprimere  mediante  gli  archi  delle  indicatrici  Pi  ,  P3 . 
