—  206  — 
II  piano  normale  alla  linea  M  nel  punto  M  è  parallelo  alla  normale 
al  piano  a  (al  vettore  u)  e  alla  generatrice  della  rettificante  in  P  (al 
vettore  f).  La  caratteristica,  in  a,  dell'inviluppo  del  piano  a,  sta  nel 
piano  uscente  da  0  e  parallelo  al  piano  normale  in  M.  Il  punto  di  re- 
gresso, in  ce,  dell'inviluppo  del  piano  a  sta  nella  retta  uscente  da  0  e 
parallela  alla  binormale  in  M. 
Dalle  (6)  si  ha  subito 
M'  =  fAu    ,    a'  =  0|(f  Au)  =  Ofu 
che  dimostrano  le  prime  due  parti  del  teorema,  perchè  la  retta  aa'  è  la 
caratteristica  in  «  e  M'  è  la  direzione  della  tangente  in  M. 
Derivando  ancora  si  ha 
M"=fAu  +  f  A(f  Au)   ,   a"  =  0fu  +  0f|(fu)  , 
e  quindi 
f  Af  Xu.u  +  (f  A  u)2  .f . 
Off'u.Ou  —  Ouf|(fu).Of 
|  0  |f  Af'Xu.u  +  (f  Auf.fj, 
che  dimostrano  l'ultima  parte  del  teorema,  perchè  M'A  M"  ha  la  direzione 
della  binormale  in  M ,  ed  essendo  aa'a"  il  punto  di  regresso  in  a  tale 
punto  sta  nella  retta  da'  (1). 
4.  Dalle  formule  precedenti  risultano  facilmente  le  proprietà  che  seguono. 
Belle  rette  (r)  P2P3  ,  P3Pi  ,  P,P2 ,  soltanto  P3Pi  descrive  una  rigata 
sviluppabile  ;  i  punti  R  per  queste  rette  sono 
(2^  +  t«)B1  =  ?«P, +  P3 
(t  —  o)  R2  =  tP3  —  ?P, 
(e2  +  2t2)  R3  =  (?2  +      P,  +  t*P2  , 
(°)  Calcolando  il  prodotto  regressivo  di  a'a"  per  a  e  dividendo  per  la  massa,  risulta 
facilmente  che  il  punto  di  regresso  in  «  ò 
M'A  M"  = 
da"  = 
0  +  fAfXn.n'  +  fXu.ifA«7  1  f Af  ' X  u  "  + (f Au)*  " f  ! 
