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che  precede  N  è  un  prodotto  di  un  numero  finito  di  potenze  di  H  e  di  K 
alternate;  quello  che  segue  N  è  un  prodotto  di  due  sole  potenze,  una  di  K, 
l'altra  di  H.  Tale  risultato  potrebbe  sostanzialmente  dirsi  incluso  nelle  con- 
siderazioni aritmetiche,  esposte  nei  trattati,  per  la  trasformazione  delle  fun- 
zioni ellittiche  e  l'irriducibilità  dell'equazione  modulare;  ma  può  bene  con- 
siderarsi nuovo  per  la  singolare  proprietà,  non  priva  di  interesse,  che  a  destra 
di  N  bastano  i  soli  fattori  KP ,  H0  ,  e  per  il  processo  dimostrativo  che  ne 
daremo,  assai  più  semplice,  per  quanto  simile  a  quello  che  si  usa  per  ricon- 
durre ogni  sostituzione  unimodulare  ad  una  succesione  delle  generatrici 
A  titolo  di  premessa  vogliamo  intanto  dimostrare  che  se  u,(ì,y,d 
sono  quattro  numeri  interi  primi,  tra  loro  vincolati  dalle  condizioni  che 
il  determinante  aó  —  fty  non  sia  nullo,  allora  può  sempre  determinarsi  un 
intero  X  tale  che  /?  -f-  c d  ,  ó  -(-  yX  risultino  anch'essi  primi  ira  loro. 
Ciò  si  potrebbe  far  discendere  da  un  ben  noto  teorema  del  Dirichlet  ('), 
ma  possiamo  farcene  una  più  facile  idea  col  metodo  assai  elementare  che 
ora  daremo. 
Il  determinante  ad  —  ^y  abbia  i  divisori  primi  di  ,  d2  ,  d3  ,  .  .  .  dn  ;  non 
è  escluso  che  qualcuno  di  essi  possa  esser  comune  a  /S  e  a  ó  :  facciamo  allora 
una  classe  Ki  di  numeri  di  che  siano  divisori  comuni  a  /*?  e  ó,  e  coi  rima- 
nenti dj  facciamo  una  elasse  K2 . 
Prendiamo  per  X  (2)  il  prodotto  dei  numeri  della  classe  K2  ;  io  dico  che 
fi  -f-  aX  ,  ó  -f-  yX  risultano  primi  tra  di  loro. 
Ed  invero,  consideriamo  l'identità 
Ogni  divisore  comune  aJ-j-y/  e  a  §  -(-  aX  dividerà  la  differenza 
a(ó  -j-  yX)  —  y(f}  —  ed),  e  conseguentemente  il  primo  membro  ad  —  (ìy  di 
(')  Nella  progressione  a-\-bk,  ove  a  e  b  sono  primi  tra  loro  e  k  =1,2,  3  ... , 
esistono  in-finiti  numeri  primi. 
D'altra  parte,  poiché  ogni  numero  primo  è  primo  con  tutti  i  numeri  che  non  sono 
suoi  multipli,  appare  manifesto  come  sia  possibile  di  rendere  /S  -f-  a'K  ,  d-\-yX  primi  tra  loro, 
pur  di  scegliere  A  in  modo  che  uno  di  quei  due  binomii  risulti  numero  primo,  e  l'altro 
non  multiplo  di  esso. 
(2)  Il  numero  A,  altro  non  è  che  il  prodotto  di  quei  soli  divisori  di  ad -f- fiy  che 
non  sono  comuni  a  §  e  d.  Dal  che  si  vede  che  per  la  formazione  di  A  si  dovranno  depen- 
nare, nella  serie  dei  divisori  «/,  ,da,...dn  del  determinante  (ed — $y ,  quelli  che  dividono 
/}  e  ó ;  quindi  solo  allora  potrà  aversi  A  =1,  quando  ad — (SA  è  solo  divisibile  per  l'unità, 
o  quando  tutti  i  divisori  di  ad — §y  potessero  coincidere  con  quelli  di  ,3  e  d;  il  qual 
caso  condurrebbe  all'eguaglianza  ad — fiy  =  p  =  d,  priva  di  significato.  Si  avrà,  conchiu- 
dendo, A  =  l,  quando,  e  solamente  quando,  è  ad — §y  numero  primo. 
a6  _  fa  =  a(tT  _|_  yX)  —  y(p  -f  aX)  . 
