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quella  identità;  ma  ad  —  t3y  ha  per  divisori  solo  i  numeri  delle  classi  ,  K2  : 
dunque,  se  divisori  comuni  &  fi  -\-aX  e  a  ó  -j-  yX  vi  fossero,  essi  dovrebbero 
forzatamente  appartenere  alle  classi  K}  ,  K2 .  Se  arriveremo  quindi  a  dimo- 
strare che  nessuno  dei  numeri  delle  classi  Kx ,  K2  può  esser  divisore  comune 
a  fi  -\-  al  e  a  à  -j-  yX ,  si  potrà  senz'altro  conchiudere  che  fi  -\-  aX ,  ó  -\-  yX 
sono  primi  tra  loro. 
A  tal  uopo,  se  la  classe  K,  potesse  contenere  dei  divisori  comuni  a 
fi  -\-  aX  e  a  ó  -j-  yX ,  essi,  essendo  già  per  ipotesi  comuni  a  /?  e  a  ó ,  do- 
vrebbero dividere  la  restanti  parti  aX  ,  yX  ;  e  non  potendo  dividere  X  (essendo  X 
il  prodotto  dei  numeri  della  classe  K2),  dovrebbero  dividere  a  e  y  e,  contro 
le  ipotesi,  esisterebbero  divisori  comuni  ad  a  ,  /? ,  y  ,  à . 
Analogamente,  i  numeri  della  classe  K2  essendo  divisori  di  aX  ,  yX ,  per 
poter  dividere  contemporaneamente  /?  -}-  aX  e  <f  -f  yX  dovrebbero  dividere  p3  e  ó; 
il  che  è  eziandio  assurdo,  avendo  posto  nella  K2  i  numeri  che  non  sono 
divisori  comuni  a  /  e  a  à. 
I  numeri  /S  -j-  aX  ,  ó  -{-  yX  non  potendo,  quindi,  ammettere  per  divisori 
in  comune  nessuno  dei  numeri  delle  classi  Kx ,  K2  risulteranno  primi  tra 
loro.  Rimane  così  stabilita  la  proposizione  preliminare,  dianzi  enunciata. 
In  base  a  questa,  si  dimostra  facilmente  la  formula  che  è  oggetto  della 
presente  Nota. 
un'arbitraria  sostituzione  lineare  binaria  primitiva  in  cui,  dunque,  p  ,  q,r  ,s 
sono  numeri  interi  primi  tra  loro,  positivi  o  negativi. 
Ponendo  Sj  =  SHX  e  sostituendo  ad  S  e  ad  H  i  veri  valori,  avremo  : 
E  scelto  X  in  modo  che  i  binomii  q  -\- pX  ,  s  -f-  rX  risultino  primi  tra 
loro  (ciò  che  è  possibile  per  la  proposizione  dianzi  dimostrata),  si  ponga 
Sia 
q+pX  =  q' 
s  -J-  rX  =  s  ; 
allora  avremo 
Distinguiamo  ora  due  casi,  secondochè  il  numero  delle  divisioni  neces- 
sarie per  la  ricerca  del  m.  c.  d.  (=  1)  tra  q'  ed  s'  è  pari  o  dispari.  Sup- 
poniamo sia  pari. 
