Detto  0  il  quoziente  (')  della  divisione  dei  numeri  q  ed  s  ,  e  posto 
S2  =  K-6  Si ,  avremo,  sostituendo, 
ove,  essendo  0  il  quoziente  della  divisione  dei  numeri  q'  ed  s',  sarà  q"  il  resto. 
Detto  t  il  quoziente  della  divisione  dei  numeri  q'  e  q"  e  posto  S3  = 
=  H_T  S2 ,  si  ha 
ove,  essendo  x  il  quoziente  della  divisione  dei  numeri  q' ,  q",  sarà  q'"  il  resto. 
Sia  ora  co  il  quoziente  della  divisione  dei  numeri  q"  ,  q'" ,  e  si  ponga 
Sj  =  K~(0  S3  ;  allora  avremo 
Procedendo  in  modo  analogo,  i  numeri  q  vanno  sempre  decrescendo,  e  sono 
i  resti  successivi  che  si  incontrano  nella  ricerca  del  m.  c.  d.  (=  1)  tra 
q'  ed  s' . 
Se  il  numero  delle  divisioni  necessarie  per  la  ricerca  del  m.  c.  d.  (=  1) 
tra  q'  ed  s\  invece  di  esser  pari,  fosse  dispari,  anziché  porre  S2  =  K-6 .  Si , 
s' incomincerebbe  col  porre  S2  ==  .  S, ,  e  si  procederebbe  in  modo  ana- 
logo; si  compendiano  in  uno  i  due  casi,  considerando  l'unità  come  la  potenza 
zero  di  un'arbitraria  sostituzione. 
È  facile  vedere  come,  in  ambo  i  casi,  il  nostro  procedimento  conduca 
ad  una  sostituzione  del  tipo 
da  cui 
e  risulta  quindi 
S  =  Hi*.K*.Hii...A.H<'. 
Si  tratta  ora  di  far  vedere  che  può  sempre  porsi 
A  =  N  .  KP . 
Ed  invero,  posto 
(:)  Evidentemente,  se  q'  ed  s'  fossero  di  segno  contrario,  il  quoziente  della  loro 
divisione  sarebbe  —  6  :  ed  allora  anziché,  porre  Sa  ==>  K-9  .  Si,  dovrebbe  porsi  Ss  =  Ke  .  S, . 
