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Dira.  (10). 
Dalla  duale  della  (4)  si  ha 
(Ar  .  s)  (Br  .  s)  (O  .  s)  =  —  (Ar  .  Br  .  Cr)  s 
che,  per  la  (4),  dimostra  la  (10). 
Dira.  (11).  —  Dalle  (10),  (8). 
2.  Nelle  formule  precedenti  abbiamo  sempre  sottinteso  il  simbolo  o  di 
prodotto  alternato,  che  è  simbolo  di  operazione  (non  di  funzione);  così, 
ad  es.,  abbiamo  scritto  Ar .  s  al  posto  della  notazione  completa  (Aor)  os  ; 
e  il  sottintendere  o  non  porta  inconvenienti  nelle  formule  (l)-(ll). 
Se  a  è  una  Fm,  e  x  è  una  Fw,  è  noto  che  aox  è  una  Fm+n  o  Fm+n-4  . 
Segue  che  il  simbolo  composto  ao  è  operatore  lineare  (a  sinistra)  tra 
le  F„  e  le  Fm+n  o  Fm+n-4  •  Nel  simbolo  composto  ao,  il  segno  o  non  pud 
essere  sottinteso,  perchè,  sottintendendolo,  si  identificherebbe  un  operatore 
lineare  (ao)  ad  una  Fm  (alla  a),  il  che  è  assurdo. 
Le  lettere  delle  quali  si  è  fatto  uso  nel  n.  1  conservano  il  loro  signi- 
ficato; inoltre  indicheremo  con  P  una  F,  arbitraria,  e  con  ve  una  F3,  pure 
arbitraria. 
L'operatore  lineare  ro,  omografia,  trasforma  Fx  in  F3,  ed  F3  in  Fi; 
la  sua  posizione  [cfr.  ('),  III,  IV]  è  omografia  proiettiva  tra  punti  e 
piani,  piani  e  punti. 
Dalla  (5)  risulta  subito  che  :  ro  è  degenere  solo  quando  rr  =  0,  cioè 
quando  r  rappresenta  (con  la  posizione)  una  retta. 
Dalla  (1)  risulta  pure  subito  che 
cioè  che:  il  quadrato  dell'omografìa  ro  è  il  semi-invariante  di  r;  quindi, 
se  ro  non  è  degenere,  la  sua  inversa  è  multipla  di  ro. 
Segue  che  :  soltanto  al  punto  all'infinito  dell'asse  di  r  (cioè  al  vet- 
tore rw)  corrisponde,  rispetto  ad  ro,  il  piano  all'infinito  ;  soltanto  i  piani 
paralleli  all'asse  di  r  hanno  per  corrispondenti,  rispetto  ad  ro,  punti 
all'infinito  [perchè  (ron)  m  —  0,  solo  quando  ré.  reo  =  0]. 
È  poi  chiaro  (poiché  Pr  .  P  =  0  ,  nr  .  n  =  0)  che  ogni  Fi  o  F3  è 
unita  rispetto  ad  ro . 
Se  a  è  una  F2  ad  invariante  nullo  (aa  =  0) ,  e,  essendo  ka  =  0, 
Ba  =  0,  si  pone  AB  =  ma,  allora  dalla  (2)  si  ha 
(12) 
TV  TtX 
(roA)  (roB)   -  mar  .  r  —  —  ma  =  —  \  2ar  .)  rr  .  a\  , 
da  cui:  se  un  punto  {piano)  giace  nella  {passa  per  la)  retta  a,  il  piano 
