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(punto)  corrispondente,  rispetto  ad  ro,  passa  per  la  (giace  nella)  retta 
2ar  .  r  —  rr  .  a  . 
L'omografìa  ro  dà  dunque  anche  una  corrispondenza,  non  lineare,  tra 
F1F1  e  FiFi  (tra  rette  e  rette):  e  precisamente,  alla  retta 
a    fa  corrispondere    2ar  .  r  —  rr  .  a  . 
Si  può  notare  che,  essendo  b  un'altra  retta, 
(2ar  .  r  —  rr  .  a)  (2br  .  r  —  rr  .  b)  =  (rr)2 .  ab  , 
e  quindi  solo  a  rette  complanari  (per  ro  non  degenere)  corrispondono 
rette  complanari. 
3.  Per  i  prodotti  (funzionali)  delle  due  omografie  ro  ,  so ,  poniamo  (') 
(13)  k  =  so  .  ro    ,    fi  —  ro  .  so  , 
cioè,  per  P  ,  n  ,  arbitrari, 
{  kP  =  Pr .  s    ,  kn=nr.s 
(  fiP  =  Ps  .  r    ,    fin  =  7xs  .  r  . 
È  evidente  che  k  ,  fi  sono  omografìe  che  trasformano  F,  in  Fi  e  F3 
in.  F3  ;  quindi  le  loro  posizioni  sono  omografie  proiettive  tra  punti  e  punti 
e  tra  piani  e  piani. 
Dalla  (11)  risulta  subito  che:  le  omografie  k ,  fi  sono,  insieme,  dege- 
neri, solamente  quando  una  almeno  delle  r  ,  s  è  ad  invariante  nullo,  cioè 
ha  per  posizione  una  retta. 
Da  (13')  si  ha  subito  che:  se  ss  =  0,  i  punti  kP  stanno  nella  retta  S  (*). 
Ma  dalla  (9)  si  ha,  per  ss  =  0 , 
,uA  .  fiB  =         j  2rs  .  r  —  rr  .  s  (  ; 
e  quindi:  se  ss  =  0,  i  punti  kP  ,  ,uP  stanno,  rispettivamente,  sulle  rette  s, 
2rs  .r  —  rr  .  s  (cfr.  n.  2). 
Dalla  (6),  ed  osservando  che 
Pr  .  Ps  =  ^P  .  P  =  —  kP  .  P  , 
si  ha:  ì  punti  P  ,  XP ,  fiP  sono  collineari,  e  stanno  sulla  retta  Pr  .  Ps;  kP 
e  fiP  hanno  egual  posizione  solamente  quando  rs  =  0  [cioè  r  e  s  sono, 
secondo  Ball,  —  cfr.  (2),  voi.  II,  pag.  129,  —  reciproche']. 
(l)  Sarà  certo  interessante  studiare  anche  i  prodotti  di  tre,  o  più,  di  tali  omografie. 
(')  E  dualmente:  i  piani  Xn  passano  per  la  retta  s.  In  generale  noi  enunceremo 
il  teorema  per  le  Fi  lasciando  al  lettore  la  cura  di  enunciare  il  duale  per  le  F,. 
