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Dalla  (8)  si  ha 
4AP  .Xrc  —  rr.  ss  .  Fn  ; 
il  secondo  membro  è  zero  per  X  degenere  o  per  Fn  =  0;  e  quindi:  se  X  è 
invertibile,  i  corrispondenti  dei  punti  di  un  piano  formano  il  piano  cor- 
rispondente rispetto  a  X  (lo  stesso  per  fi).  Lo  stesso  si  deduce  dalla  (10). 
Dalle  (12),  (13)  si  ha  subito 
(14)  fiX  =  Xfi  =  TT '  '  Sò  ; 
cioè:  i  prodotti  delle  due  omografìe  X ,  fi  eguagliano  il  prodotto  dei  semi- 
invarianti  di  r  e  s  ;  quindi,  se  X  ,  fi  sono  invertibili,  ciascuna  di  esse  è 
un  multiplo  dell'inversa  dell'altra. 
Risulta  subito,  da  questo,  che:  i  piani  fico  ,  Xio  (corrispondenti  del 
piano  all'infinito)  sono  i  piani  limiti  di  X  e  fi,  cioè  i  luoghi  dei  punti 
i  cui  corrispondenti  sono  all'infinito. 
Dalla  (6)  si  ha  X  =  rs  —  fi;  e  quindi,  per  la  (14), 
,1Kv  22  rr.ss  ■  rr.ss 
(lo)  /.  =  rs  .  X  —  — - —    ,    fi2  =  rs  .  fi  —  — - — , 
le  quali  provano  che:  le  potenze  positive  di  X  (e  lo  stesso  per  fi)  sono 
funzioni  lineari  di  A,  e  trasformano  un  punto  P  in  punti  della  retta 
Pr.Ps;  soltanto  per  rs  =  0,  Xz  è  numero;  ecc.  per  altre  proprietà  delle 
potenze. 
4.  Il  punto  P,  o  il  piano  n,  è  unito,  rispetto  a  X,  solo  quando  F.XP=0, 
ovvero  n  .  Xn  =  0,  condizione  che  equivale  a 
(16)  Fr  .  Fs  =  0  ,    ovvero    nr  .  ns  =  0  ; 
ma  questa  condizione  è . simmetrica  rispetto  ad  r  e  s,  e  quindi:  ogni  ele- 
mento unito  rispetto  a  X  è  pure  unito  rispetto  a  fi,  il  che  risulta  anche 
dalla  (6). 
Affinchè  la  (16)  sia  verificata,  è  necessario  e  basta  che  Fr  sia  multiplo 
di  Ps ,  cioè  esistano  i  numeri  x  ,  y  tali  che 
F(xr —  ys)  =  0 ,    ovvero    n(xr —  ys)  =  0  ; 
ma  per  questo  è  necessario  che  xr  —  ys  sia  ad  invariante  nullo,  cioè  che 
(17)  x%  .rr  —  2xy  .  rs  -f-  y*  ■  ss  —  0  ; 
e  quindi:  gli  elementi  (punti,  piani)  uniti  di  X  e  fi  sono,  se  esistono, 
quelli  che  appartengoon  (stanno,  passano)  alla  retta  xr  —  ys,  essendo  x/y 
soluzione  della  (17).  Queste  rette,  se  esistenti,  si  chiameranno  rette  unite 
di  X  e  fi . 
