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Dalla  (17)  risulta  subito  che:  per  rr=4=0  e  ss=\=Q  esiste  nessuna. 
0  una,  o  due  (')  rette  unite,  secondo  che  (rs)2  —  rr  .  ss$0;  per  rr  =  0 
e  ss  =j=  0.  le  rette  unite  sono  r  e  ss .  r  —  2rs  .  s;  analogamente  per  rr={=0 
e  ss  =  0  ;  per  rr  =  0  e  ss  =  0  le  rette  unite  sono  r  e  s . 
Dalla  (7)  si  deduce  che 
da    Vn  =  0    segue    XV  .  tv  =  Xn  .  V  ; 
e  quindi:  i  piani  che  contengono  i  corrispondenti  dei  loro  punti,  sono 
soltanto  i  piani  uscenti  dalle  rette  unite;  i  piani  n,  tali  che  n  ,  Xn  ,  [xn 
passano  per  un  dato  punto  P,  sono  tutti  e  soli  i  piani  uscenti  dalla  retta 
P  .  AP,  identica  a  P  .  ,uP  e  a  Vr  .  Vs  . 
Se  a  è  una  F2,  se  aa  =  0  e  P«  —  0,  si  ha 
XV  .  a  =  —  ra  .  Ps  -f-  sa  .  Pr  , 
e  quindi  :  le  rette  che  contengono  i  corrispondenti  dei  loro  punti  sono  sol- 
tanto le  rette  unite. 
5.  Sia  a  una  F2  ad  invariante  nullo  (aa  =  0).  Dalla  (9),  essendo  A,B 
delle  F!  giacenti  in  a.  si  ha  sùbito:  se  il  punto  P  vana  nella  retta  a, 
1  punti  XV  ,  fj,V  variano  rispeltivamsnte  nelle  rette 
i  u  =  rr  .  ss  .  a  —  2ss  .  ar  .  r  +  2  (2rs  .  ar  —  rr  .  as)  s 
(is)  ; 
(  v  =  rr  .  ss  .  a  — •  2rr  .  as  .  s  -f-  2  (2rs  .  as  —  ss  .  ar)  r  ; 
e  se  il  piano  n  passa  per  a ,  i  piani  Xfi ,  /un  passano  per  u  .  v . 
Osservando  che 
(19)      v  —  u  =  Ars(as  .  r  —  ar  .  s)    ,    (v  —  u)  (v  —  u)  =  —  2uv  , 
si  ha,  per  le  (18):  le  rette  u,v  coincidono  solo  quando  r  e  s  sono  reci- 
proche (rs  =  0)  ;  sono  complanari,  solo  quando  v  —  u  è  ad  invariante 
nullo. 
Affinchè  sia  uv  =  0,  è  necessario,  per  le  (19),  che  si  abbia 
(as)*  rr  —  2as  .  ar  .rs  -)-  (ar)*  ss  =  0  , 
cioè  (n.  4) 
as  co 
—  =  —  ,  ovvero  a  (xr  —  ys)  =  0  . 
ar      y  x         9  ' 
Ma  (n.  4)  xr  —  ys  è  retta  unita;  e  quindi:  le  rette  a  per  le  quali  u,v 
sono  complanari,  sono  tutte  e  sole  quelle  che  si  appoggiano  ad  una  qua- 
lunque delle  rette  unite. 
(')  Non  complanavi  perchè,  a  causa  della  (17),  per  esser  complanari  dovrebbe  esser» 
(rsf  =  rr  .ss  . 
Rendiconti.  1914,  Voi.  XXIII,  2°  Sem.  43 
