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Moltiplicando  invece  la       scalarmente  per  v,  la  (lc)  algebricamente 
v2 
per  —,  e  sommando  membro  a  membro,  si  arriva,  dopo  facili  trasformazioni 
a 
del  secondo  membro,  all'equazione 
dove  si  è  posto 
(5)  0  =  (v  X  <PX)  i  +  (v  X  Qy)j  +  (v  X  <PZ)  k 
(i,j,k  vettori  unitari  fondamentali). 
3.  Prima  di  procedere,  giova  fare  un'osservazione  di  carattere  mate- 
matico. 
Sieno  v  ed  /'  funzioni  assegnate  del  posto  (a; ,  y  ,  z)  e  del  tempo,  e  si 
consideri  l'equazione 
(6)  ^  +  div(flv)  =  / 
lineare  a  derivate  parziali  del  1°  ordine  rispetto  alla  funzione  (scalare)  ex 
di  x  ,y  ,2  ,  ; . 
In  virtù  dei  teoremi  fondamentali  d'esistenza,  una  tale  equazione  (sod- 
disfatte che  siano  debite  condizioni  qualitative)  determina  completamente  «i 
in  ogni  istante,  quando  siano  assegnati  (per  tutti  i  punti  del  campo  che  si 
considera)  i  suoi  valori  iniziali. 
Prendiamo  in  particolare 
^— r*.x^+Wx.f +<d,x^ì; 
e  notiamo  che  le  dimensioni  di  f  sono  con  ciò  quelle  di  una  potenza  per 
unità  di  volume  (ir1  t~s  m  coi  simboli  di  Maxwell).  La  incognita  «, ,  ha  in 
tal  caso,  come  ovviamente  apparisce  dalla  struttura  del  primo  membro,  le 
dimensioni  l~l  t~2  m  ,  cioè  quelle  di  una  densità  d'energia. 
Da  quanto  precede  risulta  che  tale  densità  d'energia  £j  viene  determi- 
nata dalla  (6)  a  meno  di  una,  a  priori  arbitraria,  distribuzione  statica. 
4.  Vediamo  di  riconoscere,  in  alcuni  casi  particolari,  ciò  che  effettiva- 
mente è  la  £i  dianzi  introdotta. 
Apparisce  tosto  che  nei  casi  dinamici  più  semplici  (solido  rigido  e 
fluido  perfetto  incomprimibile)  la  f,  si  riduce  a  una  costante.  Infatti,  l'esame 
del  secondo  membro  della  (6)  mostra  (avuto  riguardo  :  nel  primo  caso  alle 
condizioni  di  rigidità;  nel  secondo  al  fatto  che  gli  sforzi  si  riducono  alla 
pressione  p,  e  che  si  ha  div  v  =  0)  che  esso  è  nullo.  La  (6)  s'integra 
