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ove  l'integrale  è  esteso  alla  massa  contenuta  in  S.  Poiché  dm  non  varia 
durante  il  moto,  si  può  derivare  sotto  il  segno  rapporto  a  t:  si  avrà,  ba- 
dS 
dando  che  si  può  porre  dm  —  —  e  ricordando  le  (8)  e  (9), 
dEi      f  du  dv  1  r 
-di=X^dIrdS--JP6dS- 
Per  quanto  si  disse  dell'ultimo  integrale,  apparisce  che  u(v)  è  effetti- 
vamente l'energia  interna  del  fluido  per  unità  di  massa. 
A.  questo  punto  ripigliamo  l'equazione  (6),  scrivendone  il  primo  membro 
in  forma  diversa  ma  equivalente  : 
^  -f-  sx  div  v  =  —  p  div  v  . 
di  1 
Essa  diventa,  per  la  (8)  e  dopo  aver  moltiplicato  per  v  , 
dsl        dv  dv 
1 "li  +  6idt=~Pdt ' 
che  può  anche  scriversi,  tenendo  presente  la  (9), 
d  du  dv  du 
dt  ^'£l)  ~  dv  dt~  dt 
Un  integrale  si  ha  subito,  ponendo 
u 
Si  —  -  =  uu  . 
V 
La  «,  ci  si  presenta  allora  come  l'energia  interna  del  fluido  per  unità  di 
volume. 
Caso  del  solido  elastico.  —  Osserviamo  che  per  gli  sforzi  si  può  porre 
"à^e  ~ò&e  .  ~ò&* 
=  —  ~  •  ®yy  =  —  ~  ,  -  ,  <Py2=^--~, 
oSocx  "Syy  v?yz 
essendo  &e  il  potenziale  elastico,  e  le  £  le  componenti  di  deformazione. 
La  (6)  si  scrive,  in  questo  caso, 
—  +  div  (sxv)  =  — -  ^  +  —  ìn  + 
"si!/  "^zy 
