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di  X,  e  inoltre,  per  l'esclusione  fatta,  non  possono  annullarsi  contempora- 
neamente. Se  ne  deduce  che,  dentro  l'arco  BT\  ,  esisterà  almeno  una  posi- 
zione X*  di  X  (')  tale  che,  dette  Y*  ,  P*  ,  Q*  ,  R*  le  posizioni  corrispon- 
denti di  Ya; ,  Pa> ,  Qx  ,  Ra-  •  non  solo  sarà 
(2)  M/»(BY*Q*)  =  Mp(RY*T2), 
ma  anche 
(3)  M/»(BX*Q*)  =  M/»(P*X*T1)4:0. 
Sia  allora  a'  la  superficie  piana  limitata  dall'arco  T^B'Ta  e  dalla  spez- 
zata T,P*R*T2.  In  conseguenza  delle  (2),  (3),  è  subito  visto  che  a'  (supposta 
omogenea),  avrà,  come  o\  il  suo  baricentro  su  j3 .  È  poi  facile  di  convincersi 
che  il  suo  raggio  di  girazione  rispetto  a  /?  sarà  sempre  maggiore  di  quello 
di  a.  Invero  —  designando  con  (BY*Q*)  e  I^(BY*Q*)  l'area  e  il  momento 
d' inerzia,  rispetto  a  /?,  del  triangolo  curvilineo  BY*Q*,  e  adottando  notazioni 
analoghe  per  le  altre  superficie  che  occorre  considerare  —  poiché  ogni  punto 
di  R*Y*T2  (di  P*X*T,)  è  più  discosto  da  p  che  non  ogni  punto  di  BY*Q* 
(di  BX'Q*),  avremo  (2).  per  la  (2), 
\  (BY*Q*)=>  (R*Y*T8) 
/  I/»(BY*Q*Ì  <  Ip(R*Y*Tt)  , 
e,  per  la  (3), 
j  (BX*Q*)>(P*X*T,) 
|  1^(BX*Q*)<I/Ì(P-X*TI). 
Dopo  questo,  con  un'ovvia  ripetizione  del  ragionamento  ora  svolto,  si 
perviene  alla  conclusione  che,  se  a  non  è  un  trapezio  avente  le  basi  su 
e  ij,  si  può  sempre  costruire  un  trapezio  di  tale  specie  che,  supposto  omo- 
geneo, contemporaneamente  goda  delle  seguenti  proprietà: 
1°)  abbia  il  suo  baricentro  su  /?; 
2°)  abbia,  rispetto  a  p,  un  raggio  di  girazione  superiore  a  quello  di  e 
(x)  Facilmente  si  potrebbe  provare  che  X*  risulta  univocamente  determinato. 
(a)  Sia  infatti  f{%)  una  funzione  di  a;  mai  negativa  negli  intervalli  (a,b)  e  (c,d)  ove 
Q^a<b<c<d. 
Se  è 
I   x  f(x)  dx—\  xf(x)dx^=0, 
sarà  pure 
b  -t   rb  1   f'd  Cd 
f(x)  dx>y\    x  f(x)  dx >  -      x  f\x)  dx  >      f(x)  dx  , 
b  Ja  C  Jc  Je 
rb  rb  rd     ■  &  rd 
x2f(x)  dx  <  b  \    x  f(x)  dx  <  c      x  f(x)  dx  <      x*f(x)  dx  . 
Ja  Ja  Je  Je 
