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D'altra  parte,  per  le  conclusioni  dei  precedenti  paragrafi  [in  particolare  per 
la  (5)],  si  ha 
2       (#2  —  #i)2  (     6^i  J 
rT  <  «    —  1  . 
T>  6        (  x2  —  xx  ) 
Ne  segue 
(ti)  j==  rf1(a;1  -fa?,»)  +  s2  +     —  ^  (^2  —  a^)2 , 
ove,  come  nella  precedente  relazione,  varrà  il  segno  di  eguaglianza,  allora, 
e  allora  soltanto,  che  e  sia  un  trapezio  colle  basi  su  %x  e  t2. 
Rileviamo  inoltre  che,  qualunque  sia  ff,  è 
1  2 
(7)  -  (xz  —  #1)  <.  d,  <-  -  (#2  —  £C,)  , 
o  o 
valendo  il  primo  (secondo)  segno  di  eguaglianza  allora,  e  allora  soltanto, 
che  a  sia  un  triangolo  con  un  lato  su  t,(su  t2)  e  il  vertice  opposto  su  %2 
(su  Ti).  Invero,  se  e  è  un  trapezio  colle  basi  su  t,  e  rg,  la  (7)  è  una 
conseguenza  immediata  della  (4):  se  a  non  è  un  trapezio  colle  basi  su  %i 
e  i2,  la  (7)  si  presenta  ancora  come  una  conseguenza  della  (4),  quando  si 
tenga  conto  che  si  può  sempre  (come  abbiamo  visto  al  §  1)  costruire  un 
tale  trapezio  che  abbia  il  baricentro  su  §  ('). 
In  base  alla  (7),  dalla  (6)  si  deduce 
!  I 
(')  La  (7)  si  può  dimostrare  direttamente  nel  modo  seguente:  Sia  ffi(ffa)  la  parte 
di  <t  compresa  nella  striscia  limitata  dalle  due  rette  parallele  /S  e  r,(/?  e  Ta).  Poiché  y 
è  convesso,  il  triang-olo  a*  di  vertici  B  ,  B' ,  Ta  sarà  necessariamente  contenuto  in  <r3: 
di  più,  se  si  esclude  che  sia 
di  >  t  {SCi  —  , 
sempre  perchè  y  è  convesso,  bisognerà  ammettere  che  tra  i  parallelogrammi  aventi  una 
3 
delle  basi  coincidente  con  BB',  e  l'altra  situata  su  y,  ed  =  —  BB',  ne  esista  almeno  uno, 
a 
a*,  contenente  a,.  Supposte  le  superficie  <Ti  ,  a*  ,  0%  ,  <r*  tutte  e  quattro  di  densità 
cost  =  p,  poiché  i  momenti  statici  di  tr,  e  tr2  rispetto  all'asse  baricentralè  /3  sono  eguali, 
il  momento  statico  rispetto  a  /?  di  a*  non  potrà  superare  quello  di  .  Ne  segue,  detta  b 
la  lunghezza  di  BB' , 
b{xs  —  Xi  -  2bdiz 
6  ~~  3 
cioè 
«I   —  Q    (Xì  —  ®l)  ■ 
