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Il  differenziale  dSì  è  l'area  di  un  elemento  della  sfera  di  raggio  l,  circo- 
stante  alla  direzione  g  ;  il  prodotto  cos  ng  dSì  ne  misura  la  proiezione  sul 
piano  diametrale  che  limita  Sii  (perpendicolare  ad  m);  e       cos  ng  dSì  non 
è  altro  che  l'area  n  del  corrispondente  cerchio  massimo. 
K  e  A  sono  funzioni  del  posto  e  del  tempo,  indipendenti  da  g . 
D'altra  parte,  riferendoci  per  un  momento  ad  assi  cartesiani  Oxys,  di 
cui  l'asse  delle  z  coincida  con  n ,  e  indicando  con  yx  ,  y2 ,  y3  1  coseni  diret- 
tori di  g,  si  ha 
dK     7>K      .  DK      .  dK 
dg~  =  ^Yl+^iY2+dn-Y3ì 
e  quindi,  dalla  (4), 
(4r)       R,  =  ttK  —  Sk  —  f  yi  Ys  dS2  —  Sk  —  f  y2  y3  ^  — 
~òx  Jsìl  l>y  J&! 
—  3k~  f  y\dSÌ. 
dn  Jsìì 
I  primi  due  integrali  del  secondo  membro  sono  nulli  per  ragione  di  sim- 
metria. Infatti,  considerando  accanto  a  g  la  sua  simmetrica  rispetto  ad  n 
(nel  piano  n ,  g%  rimane  associato  ad  ogni  dSì  un  altro  dSì  congruente;  e 
il  loro  contributo  complessivo  è  nullo,  perchè  yl  ,  y2  vi  hanno  segni  opposti, 
mentre  yz  si  conserva  inalterato. 
Il  terzo  integrale,       y\  dSì ,  si  valuta  subito  in  base  alle  considerazioni 
seguenti:  Per  l'equivalenza  di  ogni  direzione  rispetto  all'intera  superficie 
sferica  Sì,  sono  eguali  tra  loro  i  tre  integrali 
Ognuno  di  essi  vale  quindi  un  terzo  della  somma,  che  è  in .  Ma  (y3  cam- 
biando soltanto  di  segno,  quando  si  sostituisce  ad  una  direzione  la  sua 
opposta) 
da  cui 
2jt 
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