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Vw  =  0,  e  quindi  anche  gn{s)  =  0;  questo  ragionamento,  ripetuto  n  volte, 
ci  porterebbe  a  concludere  che  dovebbe  pure  essere  g(s)  =  0,  contro  l'ipotesi. 
La  disuguaglianza  di  Schwarz,  applicata  alla  (2),  ci  dà  ancora: 
f'|K(*. <)(•'*■  [b\gn-xWdti 
J  a  J  a, 
da  cui,  integrando: 
cioè: 
Gn-i  <  f  fbJK(s,/)(2rfs^ 
Si  potrà  quindi  scrivere: 
lini  C„  =  C  , 
dove  C  è  una  quantità  finita. 
3.  Facciamo  la  convenzione  che  sia  g0(s)  =  g(s).  e  riprendiamo  l'ugua- 
glianza: 
gn-r{s)  =  f  K(s ,  0  gn-r-i{t)  di , 
—'a 
dove  r  =  0  ,  1 ,  2  , ... ,  n  —  1.  Si  moltiplichino  ambo  i  membri  per  gn+r(s), 
e  si  integri  da  a  e  b  ;  si  ottiene  : 
f  gn-r{s)  gn+r(s)  ds  =    f  tf,w-i(s)  #„+r+l(s)  , 
i/o  ^  a 
da  cui,  per  la  (3), 
(4)  f  j(/n(s)|2  rfS  =   f  ^n-r(s)  £W(s)  0?S  . 
•J  a  <J  a 
5.  Ciò  premesso,  consideriamo  ora  il  caso  particolare  (che  però  nella 
pratica  si  presenta  abbastanza  frequentemente)  che  sia: 
(5)  C0  =  Cy  =  C2  =  Cs  =  •  •  ■  cn  =  ■  •  •  =  e  , 
e  dimostriamo  che  la  (1)  ammette  soluzione. 
Infatti,  poiché,  sotto  quesf  ipotesi,  è 
V  V 
»  n  »  n    tt 
C         C0  Ci  .  .  .  £n— 1 
sarà,  per  le  (4), 
xVs)_^rrfs==v°~2Vo+vo=o' 
Rendiconti.  1914,  Voi.  XXIII,  2°  Sem.  51 
