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Il  Volterra  propone,  volendo  tener  conto  della  eredità,  di  correggere 
le  (4)  nel  modo  seguente 
(9) 
\ 
3 
dove  rrs  dipendono  da  tutti  i  valori  degli  sforzi  che  si  sono  esercitati  su  P, 
negli  istanti  antecedenti  all'attuale.  In  tal  modo  il  Volterra  viene  ad  espri- 
mere analiticamente,  e  nel  modo  più  generale,  che  la  deformazione  attuale 
in  P  non  dipende  solo  dagli  sforzi  attuali,  ma  da  tutta  la  serie  degli  sforzi 
che  si  sono  anteriormente  esercitati  sopra  P. 
Che  se  si  vuole  conservare,  anche  rispetto  alle  azioni  ereditarie,  l'ipo- 
tesi lineare  già  esistente  nella  legge  di  Hooke,  basta  immaginare  di  svi- 
luppare rrs  in  serie  analoghe  a  quelle  di  Taylor  e  trascurare  i  termini  non 
lineari.  Alle  (9)  vanno  allora  sostituite  le  seguenti  relazioni: 
e  si  è  nel  caso  che  il  Volterra  denomina  eredità  lineare.  I  coefficienti 
<Prs,im(t  *  ti)  dovranno  dirsi  coefficienti  di  eredità. 
Se  è,  o  può  ritenersi,  trascurabile  l' influenza  ereditaria  anteriore  ad 
un  istante  t0 ,  allora  il  limite  inferiore  ( —  oo)  dell'  integrale  va  sostituito 
con  t0. 
Immaginiamo  in  pari  tempo  di  risolvere  le  (10)  rispetto  agli  sforzi  rrs; 
si  ottiene,  notoriamente, 
(11)       Trs(f)  =  —  Ylm  c'rStim  ylm(t)   Vmlf>rs,lm(t  ,  ti)  Yim(ti)  dti  . 
Queste  formule  definiscono  lo  stato  attuale  di  tensione  di  un  elemento  me- 
diante la  storia  delle  deformazioni  subite  da  quell'elemento  dall'istante  t9 
all'istante  t. 
Sostituendo  in  (2)  e  (3),  per  rrs,  le  espressioni  (11),  e  per  yim  le  espres- 
sioni (1),  si  ottengono  delle  equazioni  integro-differenziali  nelle  funzioni 
incognite  u ,  v ,  w .  Così,  mentre,  nel  caso  classico  [n.  1],  le  equazioni  del- 
l'equilibrio elastico  sono  differenziali,  quando  si  tiene  conto  della  eredità  esse 
diventano  integro-differenziali. 
(10) 
3  Ti  3 
Yrs(t)  -    —  J_lm  Crs,lm  Vlm(t)  —  _>  lm  <frs,lm{t  ,  ti)  Tim(ti)  dt 
l  i 
(')  Cfr.,  p.  es.,  le  recenti  Lepons  sur  les  fonctions  de  lignes  [Paris,  Gauthier- 
Villars,  1913,  cap.  VI]. 
