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V  è,  per  sua  definizione,  la  somma  di  tutti  questi  contributi  elemen- 
tari. Supponiamo  per  un  momento,  tanto  per  fissare  le  idee,  che  a  sia  una 
superficie  convessa.  In  tal  caso,  ad  ogni  da',  considerato  come  elemento  di 
uscita,  vanno  associati  tutti  i  possibili  da,  come  s' è  osservato  nel  prece- 
dente § .  L'espressione  di  V  è,  allora, 
V=     da'     da  ||>-H<I>f. 
In  generale,  ad  ogni  da'  va  associata  soltanto  una  parte  dei  da:  quelli, 
per  cui  il  segmento  PP'  è  tutto  interno  al  campo.  Chiamando  a*  quella 
porzione  di  a  (dipendente  dalla  posizione  di  P'),  che  è  luogo  dei  punti  in 
cui  i  raggi  spiccati  da  P'  incontrano  per  la  prima  volta  il  contorno,  l'espres- 
sione di  V,  valida  in  ogni  caso,  sarà 
(12)  V  =     da'      da  j  £ +  W }  , 
la  quale  differisce  dalla  precedente  soltanto  perchè  l' integrazione  interna  è 
estesa  a  a*,  anziché  a  tutta  a  (coincidendo,  naturalmente,  a*  con  <r,  nel  caso 
dei  contorni  convessi). 
8.  —  Lemmi. 
Prima  di  procedere,  importa  rilevare  che  vi  sono  due  tipi  molto  sem- 
plici di  integrali  quadrupli,  per  cui  è  indifferente  estendere  l'integrazione 
interna  a  a*  ovvero  a  tutto  a.  Essi  sono 
-  [da'  f 
.  cos  nr  cos  n'r 
da  
a  r 
f  7  ;  P  7  cos  nr  cos  n'r  ,  ,  . 
Jx  =  J  da'  |  da  -  {%'  —  x) , 
coi  due  analoghi  Jy  ,  J- . 
La  dimostrazione  si  fa  come  al  §  7  della  già  citata  mia  Nota  Dedu- 
zione rigorosa  ecc. 
Dalla  stessa  Nota  (§  4)  si  ha  ancora 
J  ==  4nS  (S  volume  del  campo,  designato  colla  stessa  lettera). 
Infine  si  riconosce  ovviamente  che  3X  =  0 .  Infatti,  scambiamo  fra  loro  da 
e  da'.  Da  un  lato,  ciò  non  influisce  sul  valore  dell'integrale.  D'altro  lato, 
(')  In  questi  Kendiconli,  ser.  5\  voi.  XXIII  (1°  scm.  1914),  pp.  12-21. 
