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Matematica.  —  Sulle  funzioni  assolutamente  continue.  Nota 
di  Witold  Wilkosz('),  presentata  dal  Socio  0.  Segre. 
Diremo,  col  prof.  Vitali  (secondo  una  locuzione  da  tutti  ;  ccettata),  asso- 
lutamente continua  una  funzione  f(z)  definita  per  a  <.  s  <.  b ,  se  per  ogni 
dato  g^>0  esiste  un  £  tale  che:  Se  (ar  ,  sono,  per  s  =  1 ,  2  ,  8  , ... , 
segmenti  distinti  interni  all'intervallo  (a ,  b)  di  somma  minore  di  s,  la 
somma  delle  corrispondenti  variazioni  f(@r)  ■ —  f(ar)  non  supera  a.  Ogni 
tale  funzione  è  anche  continua  ed  a  variazione  limitata. 
I  segmentini  (ar ,  fir)  possono  anche  essere  in  numero  infinito;  e  la 
definizione  posta  non  cambia  di  significato,  se  alle  variazioni  f(fìr)  —  f(ar) 
sostituiamo  ir  loro  valore  assoluto,  cioè  l'ampiezza  dell'intervallo  percorso 
da  y ,  quando  x  percorre  (ar  ,  §r) . 
Un  classico  teorema  del  Vitali  dice  che:  Condizione  necessaria  e  suffi- 
ciente affinchè  esista  f'(z)  (escluso  al  più  un  gruppo  di  misura  nulla). 
e     f'(z)  dz  =  f(z)  -f-  cost ,  è  che  f(z)  sia  assolutamente  continua. 
Noi  ci  chiediamo:  Quando  è  vero  il  teorema  dell'integrazione  per 
sostituzione?  cioè:  Quando  dalla  y—     ip(z)  dz  e  dalla  z  =  <f(x)  si  può 
Intanto,  per  ipotesi,  la  y  è  funzione  assolutamente  continua  di  z\  e,  se 
il  teorema  fosse  vero,  la  y  si  dovrebbe  poter  considerare  anche  come  fun- 
zione assolutamente  continua  della  x.  Intanto  è  ben  naturale  di  richiedere 
che  il  teorema  sia  esatto  per  y  =  z,  e  quindi  supporre  la  z  =  <p(x)  fun- 
zione assolutamente  continua  della  x.  Il  seguente  ragionamento  potrebbe 
anzi  far  credere  alll'esattezza  del  nostro  teorema  nell'ipotesi  che: 
1°)  se  z  =  <f>(x)  =  <p\x)  dx ,  cioè  se  s  è  funzione  assolutamente  con- 
tinua della  x  ; 
(')  L'A.  della  presente  Nota  è  soldato  nell'esercito  austriaco;  e  io  non  ne  ho  ora 
notizia.  Questa  Nota  contiene  il  risultato  essenziale,  che  mi  sembra  nuovo  e  importante, 
Jdi  un  lavoro  consegnatomi  in  esame  per  la  pubblicazione.  Io  ne  ho  rifatto  la  redazione, 
e  ho  cercato  di  porre  in  chiara  luce  il  punto  essenziale  (secondo  me)  della  questione 
trattata.  Il  presente  lavoro  dimostra  errato  un  teorema  enunciato  (a  quanto  mi  scriveva  FA.) 
in  una  recente  edizione  di  un  celebre  trattato  di  analisi  infinitesimale. 
dedurre 
G.  Fubini 
