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2°)  se,  variando  x  nel  suo  intervallo,  la  s  varia  nel  campo  ove  è 
definita  la  y. 
Infatti,  essendo  y  funzione  assolutamente  continua  della  z,  dato  ad 
arbitrio  un  tf>0,  esiste  un  o-!  tale  che,  se  la  z  percorre  segmenti  distinti 
di  somma  inferiore  a  <r, ,  le  corrispondenti  variazioni  di  y  hanno  somma 
minore  di  a.  Ed  essendo  z  funzione  assolutamente  continua  della  x ,  si 
possono  a  z  far  percorrere  segmenti  di  somma  inferiore  a  ax ,  purché  si  fac- 
ciano percorrere  alla  x  segmenti  di  somma  inferiore  ad  un  «  abbastanza 
piccolo;  e  in  tal  caso  le  variazioni  corrispondenti  della  y  hanno  una  somma 
minore  di  e:  la  y,  cioè,  è  funzione  assolutamente  continua  della  x. 
Sarebbe  dunque  in  ogni  caso  lecita  l'integrazione  per  sostituzione, 
quando  alla  variabile  di  integrazione  z  si  sostituisca  una  x  tale  che  z 
sia  funzione  assolutamente  continua  della  x . 
Ma  il  precedente  ragionamento  è  errato,  perchè,  pure  essendo  distinti 
i  segmenti  percorsi  dalla  x,  possono  non  essere  distinti  i  segmenti  percorsi 
dalla  z;  cosicché  nulla  si  può  dedurre  circa  le  corrispondenti  variazioni 
della  y .  E  che  anche  il  risultato  sia  falso  noi  proveremo  qui  sotto  con  un 
esempio.  Ma  la  stessa  nostra  osservazione  ci  indica  due  casi  molto  importanti, 
in  cui  tale  integi  azione  per  sostituzione  è  lecita. 
1°)  La  z  è  funzione  crescente  (o  decrescente)  della  x.  In  tal  caso 
infatti,  se  la  x  percorre  segmenti  distinti,  anche  la  z  percorre  segmenti 
distinti. 
2°)  La  funzione  tp(z)  da  integrare,       =  ^xp{z)  dz 
è  limitala. 
In  tal  caso  infatti,  sia  H  una  costante  maggiore  di  tutti  i  valori  di 
\ip(z)\;  quando  la  z  percorre  segmenti  anche  non  distinti  di  somma  minore 
od  uguale  a  e,  =  ^  ,  le  variazioni  corrispondenti  della  y  non  superano  e  ('). 
H 
I  precedenti  risultati  si  possono  estendere  anche  a  integrali  tra  limiti 
infiniti. 
Ecco  l'esempio  a  cui  abbiamo  sopra  accennato  : 
Sia  y  =  F(z)  definita  ponendo 
F(Ó)  =  0    ,    F(^)  =  ^rT  per  rc  =  0,l,2,... 
F(z)  funzione  lineare  della  z  in  ogni  intervallo  (  ^  ,       )  • 
(')  Il  primo  di  questi  teoremi  è  dovuto  al  Lebesgue  (Ann.  Fac.  des  sciences  Tou- 
louse,  1909,  pag.  44).  Cfr.  anche  Hobson,  Proceed.  of  the  London  Mathem.  Soc,  1910. 
