—  528  — 
brica,  e  che  ha  inoltre  un  interesse  innegabile  anche  dal  punto  di  vista  della 
teoria  delle  funzioni  analitiche  ('),  credo  di  far  cosa  utile  esponendone  qui 
una  risoluzione,  che  è  di  gran  lunga  più  semplice  di  quella  conosciuta. 
La  mia  dimostrazione  si  svolge  fondandosi  soltanto  sul  concetto  di 
composizione  delle  singolarità,  qual'è  precisato  nella  Memoria  del  Segre,  e 
sul  fatto,  ivi  dimostrato,  che  le  prime  polari  dei  punti  dello  spazio  S3, 
rispetto  alla  superficie  P  ,  contengono  tutti  i  punti  multipli,  distinti  ed  infi- 
nitamente vicini  della  F.  La  linea  direttiva  del  procedimento  ch'io  seguo, 
si  può  indicare  in  poche  parole;  e,  se  non  si  fosse  trattato  di  argomento 
così  delicato,  che  mi  ha  indotto  ad  approfondire  anche  le  affermazioni  di 
carattere  più  intuitivo  (*'),  avrei  potuto  contenere  questa  Nota  in  limiti  assai 
più  ristretti. 
Il  concetto  semplificatore  è  espresso  sopratutto  dalla  proposizione  che 
una  curva  C ,  variabile  con  continuità  nello  spazio,  non  può  abbassarsi  di 
genere,  senza  acquistare  nuovi  punti  multipli  (lemma  /?).  Oltre  a  questo, 
premetto  altri  due  lemmi:  l'uno  afferma,  in  sostanza,  che  la  varietà  razionale 
rappresentata  nello  spazio  S3  dal  sistema  di  tutte  le  superficie  d'ordine  / 
assai  alto,  che  passano  con  molteplicità  convenienti  per  un  dato  gruppo 
base  G,  di  un  numero  finito  di  punti  —  a  distanza  finita  o  infinitesima  tra 
di  loro  —  è  priva  di  punti  multipli  (lemma  a);  e  l'altro  si  riferisce  alla 
natura  delle  singolarità  che  può  presentare  la  curva  intersezione  di  due 
superficie,  le  quali  non  abbiano  alcuna  linea  multipla  comune  (lemma  y). 
La  difficoltà  veramente  essenziale,  nella  risoluzione  delle  singolarità 
di  una  superficie,  è  data  dai  punti  multipli  propr/,  cioè  da  quei  punti  che 
abbassano  il  genere  delle  sezioni  piane  (o  iperpiane)  per  essi.  I  punti  mul- 
tipli impropri  invece,  come  vedremo,  si  fanno  sparire  con  relativa  facilità, 
mediante  semplici  considerazioni  di  geometria  sopra  una  curva  (3). 
(!)  Se  F(j?  ,  y  ,  z)  =  0  è  l'equazione  della  superficie  F,  il  teorema  in  questione  per- 
mette di  affermare  che  le  soluzioni  dell'equazione  precedente,  nell'intorno  di  una  solu- 
zione qualsiasi  (j?o  ,  2/o ,  2o)>  possono  rappresentarsi  completamente  mediante  un  numero 
finito  di  sviluppi  in  serie  di  potenze  di  2  parametri.  Donde  poi  segue  (a  causa  dell'alge- 
bricità)  che  tutte  le  soluzioni  di  F  =  0  sono  rappresentabili  con  un  numero  finito  di  serie 
siffatte.  Delle  singolarità  di  una  superficie  analitica  F  =  0,  nell'intorno  di  un  suo  punto 
(ove  la  funzione  F  sia  regolare),  si  è  occupato  recentemente  G.  Dumas  (Comptes  rendus, 
151,  1911,  pag.  682,  154,  1912,  pag.  1495). 
(a)  Veggasi  ad  esempio  l'osservazione  del  n.  8! 
(3)  Questa  distinzione,  dei  punti  multipli  di  una •  superficie,  in  propri  ed  impropri, 
corrisponde  ad  un  concetto  familiare  nella  geometria  sopra  una  superficie:  quello  cioè  di 
curve  fondamentali  proprie  ed  improprie  di  un  sistema  lineare  di  curve  [Ved.  p.  es.  En- 
riques, Introduzione  alla  geometria  sopra  le  superficie  algebriche  (Memorie  dei  XL  (3), 
10,  1896),  n.  83.  Dal  punto  di  vista  proiettivo,  ho  già  avuto  occasione  altra  volta  (Een- 
diconti  del  Circolo  matematico  di  Palermo,  15,  1901)  di  occuparmi  della  cosa.  Ma  non 
sembra  che  di  tale  distinzione,  la  quale  panni  essenziale  per  la  risoluzione  delle  singo- 
larità delle  superficie,  si  sia  fatto  uso  sistematico  nelle  precedenti  ricerche  su  questo 
