Un  punto  multiplo  proprio  Pi  della  superficie  F  (che  supponiamo  in  S3) 
può  esser  origine  di  una  o  più  successioni  ci li  punti  multipli  propri  iufini- 
tamente  vicini,  variamente  ramificate  a  partire  da  Pj  .  Dicendo  che  i  punti 
?!  ,  P2 , ... ,  Pfc,  consecutivi  sopra  un  ramo  di  curva  algebrica  tracciato  su  P 
e  avente  l'origine  in  P,  ,  formano  una  successione  di  punti  multipli  propri, 
intendo  che  alle  curve  sezioni  di  F  colle  superficie  d'ordine  l  (conveniente- 
mente  alto)  i  successivi  passaggi  per  i  punti  della  successione,  importino 
sempre  nuovi  abbassamenti  del  genere. 
A  priori,  naturalmente,  non  può  affermarsi  che  ogni  successione  di  punti 
multipli  propri  di  F,  abbia  un  termine-  (nè,  quindi,  che  le  successioni  sieno 
in  numero  finito).  Il  ragionamento  della  prima  parte  di  questa  Nota  è 
appunto  diretto  a  provare,  in  sostanza,  che  ogni  successione  di  punti  mul- 
tipli propri  di  F,  è  pur  successione  di  punti  base  del  sistema  irriducibile  |C|, 
staccato  su  F  dal  sistema  ÌA|  delle  prime  polari  dei  punti  dello  spazio 
(cosicché  ne  segue  che  le  successioni  son  tutte  finite  ed  in  numero  finito), 
e  dà  il  modo  per  fare  sparire  di  colpo  tutti  i  punti  multipli  propri.  Ed  ecco 
brevemente  come: 
Si  consideri  il  sistema  |A  staccato  su  F  dalle  superficie  cP  di  ordine  l 
dello  spazio,  che  hanno  il  comportamento  fissato  dal  lemma  a)  rispetto  al 
gruppo  G  dei  punti  base  —  distinti  e  infinitamente  vicini  —  di  |C|.  Sia  Q 
un  punto  qualunque  di  F,  a  distanza  finita  o  infinitesima  da  punti  di  G, 
ma  distinto  da  essi.  Proviamo,  anzitutto,  che  le  A  passanti  per  Q  hanno  lo 
stesso  genere  della  generica  A .  Se,  invero,  il  passaggio  per  Q  abbassasse 
il  genere  delle  A,  ogni  A  per  Q  acquisterebbe  (lemma  «),  rispetto  alla  A 
generica,  qualche  nuovo  punto  multiplo.  Tenendo  conto  delle  molteplicità 
d'intersezione  in  ciascun  punto  comune  alla  A  variabile  e  ad  una  A  fissata 
genericamente,  e  del  fatto  che  A  contiene  lutti  i  punti  multipli  di  F,  si 
conclude  che  ogui  nuovo  punto  multiplo,  acquistato  da  A ,  assorbe  qualcuna 
delle  intersezioni  variabili  semplici  di  A  con  A;  cioè  qualcuna  delle  inter- 
sezioni variabili  della  superficie  <X> ,  che  stacca  quella  A  ,  colla  curva  C 
comune  ad  F  e  a  A ,  fuori  delle  linee  multiple.  Ma  questo  vuol  dire  che 
Q  è  un  punto  base  di  |C|,  contro  il  supposto. 
Ne  deriva  che,  trasformando  birazionalmente  F  in  una  superficie  F' 
di  S,-,  mediante  il  sistema  semplice  oor  |A|,  la  F'  viene  ad  esser  priva  di 
punti  multipli  propri.  Dopo  ciò,  si  considerino  le  forme  H  di  Sr  soggette 
alla  condizione  di  staccare  sopra  un  generico  iperpiano,  passante  per  ogni 
punto  comunque  scelto  su  F',  un'aggiunta  [nel  senso  di  Casteluuovo  (')]  alla 
argomento.  Il  concetto  di  punto  multiplo  isolato,  non  coincide  infatti  con  quello  di  punto 
multiplo  proprio.  Un  punto  multiplo  isolato,  che  appartenga  ad  una  linea  multipla  di 
molteplicità  inferiore,  non  è  necessariamente  proprio. 
(')  Sui  multipli  di  una  serie  lineare,  ecc.  (Kendiconti  del  Circolo  matematico  di 
Palermo,  7,  1893). 
