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curva  sezione  A'  di  F'  con  queir  iperpiano.  Prendendo  sufficientemente 
alto  l'ordine  l  delle  forme  H,  mediante  considerazioni  di  geometria  sopra 
una  curva  (e  tenendo  conto,  beninteso,  che  F'  non  ha  punti  multipli  propri), 
si  riesce  a  soddisfare  con  facilità  alle  condizioni  seguenti: 
la)  il  sistema  lineare  completo  |M|,  contenente  totalmente  le  sezioni 
delle  B7  con  F',  stacca  sulla  generica  sezione  iperpiana  A',  per  un  punto 
qualunque  di  F',  una  serie  lineare  completa,  priva  di  gruppi  neutri  ('); 
2*)  i  sistemi  |M|  ed  |N|  =  |M  —  Af|  non  hanno  punti  base; 
3a)  non  esistono  su  F'  gruppi  di  punti,  a  distanza  finita  tra  loro, 
che  sieno  neutri  pel  sistema  |M|. 
Si  trasformi  allora  F'  in  una  superficie  F"  di  uno  spazio  Sd ,  mediante 
il  sistema  semplice  <x>d  |M|.  La  trasformazione  da  F'  ad  F"  non  introduce 
curve  fondamentali,  per  guisa  che  ad  un  punto  P,  comunque  scelto  su  F', 
risponde  un  numero  finito  di  punti  su  F".  Sia  P'  uno  di  questi;  A'  una 
generica  sezione  iperpiana  per  P,  ed  N  una  curva  di  |N|  che  non  passi 
per  P .  (Una  tal  curva  esiste  sempre,  essendo  soddisfatta  la  2a  condizione). 
Alla  curva  composta  A'  -f-  N  risponde  su  F"  una  sezione  iperpiana  A"  -f-  N' 
riducibile;  e  la  parte  N'  —  omologa  di  N  — ,  essendo  soddisfatta  la  3a  con- 
dizione, non  passa  per  P'.  Quanto  alla  A"  —  omologa  di  A'  — ,  per  la 
la  condizione,  essa  non  ha  punti  multipli;  cosicché,  complessivamente,  la 
A"  ~j-  N'  passa  per  P'  con  un  punto  semplice,  e  P'  è  perciò  semplice  anche 
per  F".  Si  è  così  ottenuta  una  trasformata  F"  di  F,  priva  di  punti  multipli. 
Il  metodo  esposto  può  estendersi,  senza  gravi  difficoltà,  anche  alle  varietà 
superiori;  ma  di  ciò  mi  occuperò  in  un'altra  Nota. 
1.  Proposizioni  preliminari.  —  Affinchè  il  lettore  possa  subito  seguire 
la  linea  fondamentale  del  procedimento,  senza  essere  fin  dall'  inizio  distratto 
dall'esame  di  questioni  di  dettaglio,  premetterò  l'enunciato  di  alcuni  lemmi, 
riservandomi  di  dimostrarli  alla  fine. 
a)  Dato  nello  spazio  un  gruppo  Gr  di  k  punti  P,  ,  P2 , ... ,  Pft  —  a 
distanza  finita  o  infinitesima  tra  di  loro  (2)  —  si  posson  sempre  determinare 
tali  molteplicità  sx ,  s2 , .... ,  sk,  da  assegnarsi  nei  punti  dati,  che: 
1°)  le  superficie  d'ordine,  assai  alto,  /(>.  L),  passanti  pei  Pt-  colle 
molteplicità  assegnate  si5  non  posseggano  di  conseguenza  altri  punti  base, 
ed  abbiano  nei  punti  Pi  molteplicità  effettive  uguali  alle  assegnate; 
2°)  imponendo  alle  superficie  suddette  l'ulteriore  passaggio  per  un 
punto  qualunque  Q  —  a  distanza  finita  o  infinitesima  da  punti  di  G  — 
non  compaiano  altri  punti  base,  all'  infuori  di  Q  ,  P!  , ... ,  Pft,  con  ivi  le  mol- 
teplicità effettive  1 ,  «i ,  s2 , ... ,  s»  ■ 
/?)  Una  curva  A  variabile  con  continuità  nello  spazio,  non  può 
abbassarsi  di  genere  senza  acquistare  un  nuovo  punto  multiplo. 
(')  Cioè  di  gruppi  che  presentino  una  sola  condizione  alle  M. 
(a)  È  appena  necessario  di  avvertire  che  un  siffatto  gruppo  si  assegna  dando  una  curva 
algebrica  che  contenga  i  punti  P<  (come  semplici  o  multipli). 
