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È  opportuno  di  chiarir  subito  che,  quando  parliamo  di  un  nuovo  punto 
multiplo  che  la  A  deve  acquistare,  intendiamo  non  soltanto  che  questo  punto 
possa  essere  distinto  dai  limiti  dei  punti  singolari  variabili,  o  infinitamente 
vicino  ad  uno  di  essi,  ma  che  possa  addirittura  sovrapporsi  ad  uno  di  questi 
limiti,  il  quale,  in  tal  caso,  viene  ad  aumentare  di  molteplicità. 
Consideriamo,  ad  esempio,  nello  S4 ,  la  superficie  P  intersezione  com- 
pleta di  due  forme,  che  si  tocchino  in  un  punto  P;  e  proiettiamo  P  sullo 
spazio  ordinario,  da  un  punto  0  della  retta  che  congiunge  P  con  un  punto 
generico  di  P.  La  proiezione  P'  di  P  verrà  a  possedere  in  P\  proiezione 
di  P,  un  punto  triplo,  che  sarà  doppio  per  la  linea  doppia  di  F',  e  tale, 
inoltre,  che  una  sezione  piana  di  P' ,  condotta  per  P',  avrà  il  genere  inferiore 
di  un'unità  rispetto  al  genere  della  sezione  piana  generica  A.  Orbene,  se  A 
varia  tendendo  a  passare  per  P\  due  punti  doppi  di  A  tendono  a  P'  ;  e 
quando  A  viene  a  passare  per  P',  essa  acquista  un  nuovo  punto  doppio,  che 
si  sovrappone  ai  due  precedenti,  dando  luogo,  insieme  con  essi,  al  punto 
triplo  P\ 
Insomma,  se  ogni  punto  s-plo  di  A  si  considera  come  «  equivalente  » 
s(s  ]  ) 
ad  — - —  punti  doppi,  ciò  che  aumenta  è  il  numero  complessivo  dei  punti 
di 
doppi  equivalenti  ai  punti  multipli  di  A. 
y)  Sia  A  la  curva  sezione  di  una  superficie  P  dello  spazio,  dotata 
di  singolarità  qualunque,  con  una  superficie  (P ,  la  quale  non  contenga 
alcuna  linea  multipla  di  P,  nè  abbia  con  questa  in  comune  alcuna  linea 
infinitesima  (semplice  o  multipla):  allora  in  og  ni  suo  punto  la  A  presenta 
una  molteplicità  uguale  al  prodotto  delle  molteplicità,  ivi,  di  P  .  <P . 
2.  Trasformazione  della  superficie  P  in  una  priva  di  punti 
multipli  propri.  —  Consideriamo  sulla  nostra  superficie  F ,  dotata  di  sin- 
golarità arbitrarie  nello  spazio  ordinario,  il  sistema  lineare  irriducibile  (l)  |C| 
staccato,  fuori  delle  linee  multiple  di  F,  dal  sistema  |À|  delle  prime  polari 
dei  punti  dello  spazio;  e  indichiamo  con  G  l'insieme  di  tutti  i  punti  sem- 
plici e  multipli,  distinti  e  infinitamente  vicini,  eventualmente  comuni  alle  C. 
Si  sottintende  che,  in  G,  ogni  punto  comune  alle  C  viene  contato  una  volta 
sola,  a  prescindere  dalla  molteplicità  che  in  quel  punto  possiede  la  C  va- 
riabile. 
Indicheremo  inoltre  genericamente  con  Q>  una  superficie  passante  pei 
punti  del  gruppo  base  G,  colle  molteplicità  richieste  dal  lemma  a);  e  quando 
di  questa  superficie  sia  fissato  l'ordine  /,  la  designeremo  con  <Pl.  Intende- 
remo, inoltre,  che  sia  sempre  l  >.  L  -{-  1 ,  ove  L  è  il  limite  a  partire  dal 
quale  le  (t>1  soddisfanno  ad  «). 
Il  sistema  |<P*|,  di  tutte  le  Q>1,  stacca  su  F  un  sistema  lineare  sem- 
plice oor|A|,  che  non  ha  altri  punti  base,  all' infuori  di  quelli  del  gruppo  G 
{*)  La  irriducibilità  di  |C|  apparisce  subito,  sotto  la  forma  duale. 
