—  532  — 
(taluni  dei  quali,  eventualmente,  posson  esser  multipli  per  la  A  generica). 
Ci  proponiamo  di  dimostrare  che  su  F  non  esiste  alcun  punto  Q,  semplice 
o  multiplo ,  a  distanza  finita  o  infinitesima  da  punti  del  gruppo  base  Gr , 
tale  che  le  oor_I  curve  del  sistema  |A|,  passanti  per  Q,  abbiano  tutte 
genere  inferiore  rispetto  a  quello  della  generica  A . 
Suppongasi,  se  è  possibile,  che  un  tal  punto  Q  esista:  e  dicansi  A0 ,  <P0 
rispettivamente  le  A  ,  (P  passanti  per  esso. 
Allorché  la  Q>1  variabile  viene  a  passare  per  Q,  la  relativa  curva  A, 
pel  lemma  /?).  acquista  (almeno)  un  nuovo  punto  multiplo  M:  nuovo,  rispetto 
ai  punti  multipli  fissi  e  ai  limiti  dei  punti  singolari  variabili  lungo  le  linee 
multiple  di  F. 
Domandiamoci  anzitutto:  dove  può  cadere  M?  Suppongasi,  dapprima, 
che  M  sia  variabile  con  A0 .  Allora,  se  M  variasse  coincidendo  con  (o  con- 
servandosi infinitamente  vicino  ad)  un  punto  mobile  lungo  una  linea  multipla 
effettiva  di  F,  quando  una  A,  passante  pel  punto  generico  R  di  questa  linea, 
divenisse  una  A0,  si  altererebbe  la  composizione  della  singolarità  di  A  in  R. 
Invece,  questo  non  può  accadere.  Considerando  infatti  la  curva  A  staccata 
su  F  da  una  £>'  composta  mediante  una  Q>l~l  variabile  ed  un  piano  fìsso  ti, 
uscente  da  R,  se  <Pl~l  va  a  passare  per  Q,  e  diviene  <2>0^— 1 ,  la  composizione 
della  singolarità  di  A  in  R  non  muta,  giacché  <2V_1  non  passa  per  R 
(lemma  a). 
Né  può  darsi  che  M  descriva  una  linea  infinitesima  appartenente  all'in- 
torno di  un  punto  di  G ,  perchè,  altrimenti,  o  la  generica  Q>1  incontrerebbe 
il  luogo  del  punto  M,  che  dovrebbe  esser  multiplo  per  F  (n.  7,  oss.  2a), 
per  lo  meno  in  tanti  punti  variabili  quanti  son  quelli  in  cui  lo  incontra  la 
(t>cl  (che  è  una  particolare  <P?)<  e  quindi  M  non  sarebbe  per  A0  un  punto 
multiplo  essenzialmente  nuovo  ;  oppure  il  luogo  di  M  sarebbe  fondamentale 
pel  sistema  delle  e  quindi  contenuto  in  ogni  $><,'.  Cosiccchè,  in  tal  caso, 
il  sistema  delle  <P0'  verrebbe  ad  avere  altri  punti  base  (cfr.  coll'osservaz.  2a, 
del  n.  7),  oltre  quelli  assegnati;  contrariamente  al  lemma»).  Se,  pertanto, 
M  è  variabile,  si  muove  di  necessità  nell'intorno  di  Q,  che  risulta  allora 
multiplo  per  F ,  in  quanto  ad  esso  succede  il  punto  M  multiplo  per  F . 
Se  M  resta  fisso  al  variare  di  A0,  esso  si  sovrapporrà  a  Q  o  ad  un 
punto  P  di  C  Proviamo,  intanto,  che  quest'ultima  ipotesi  è  assurda.  Invero, 
la  A0  avrebbe  in  P  un  punto  di  molteplicità  superiore  a  quella  che  ivi 
presenta  la  generica  A,  e  ciò  significherebbe  [lemma  y)]  o  che  la  <*V  ha  in 
P  molteplicità  superiore  a  quella  della  Q>1  genetica,  oppure  che  d>9?  ha  in 
comune  con  F  una  linea  infinitesima  dell'intorno  di  P:  circostanze  ambedue 
incompatibili  col  lemma  a). 
Infine,  se  M  è  fisso  e  sovrapposto  a  Q,  non  può  darsi  che  Q  —  il  quale, 
si  ricordi,  è  semplice  per  <t>01  [lemma  a)]  —  sia  pur  semplice  per  F ,  chè 
altrimenti  [lemma  y)]  le  F,  4>0J  avrebbero  in  comune  anche  l'intorno  di  Q, 
contrariamente  ad  a). 
