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Si  conclude,  pertanto,  che  il  punto  M  coiucide  con  Q,  o  si  mantiene 
nell'intorno  di  Q,  che  in  ogni  caso  è  multiplo  per  F. 
Si  ricordi,  ora,  che  la  generica  A  contiene  tutti  i  punti  multipli,  distinti 
e  infinitamente  vicini,  di  F:  e  quindi  anche  i  punti  Q,M.  Ciò  posto,  facciamo 
variare  una  A,  finché  essa  venga  a  passare  per  Q  e  divenga,  così,  una  A0 . 
La  curva  A0  viene  allora  a  possedere  un  nuovo  punto  multiplo  su  A ,  e 
s'accresee  così  il  numero  delle  intersezioni  di  A0  con  A  assorbite  dai  punti 
multipli  di  A0  ('). 
Tale  accrescimento  non  può  che  avvenire  a  scapito  delle  intersezioni 
variabili  semplici  della  A  variabile  con  A,  cioè  delle  intersezioni  variabili 
della  superficie  <£'  che  stacca  A,  colla  C  segnata  su  F  (fuori  delle  linee 
multiple)  da  A-  Siccome,  infine,  le  nuove  intersezioni  semplici,  assorbite  dai 
punti  multipli  di  A0 ,  sono  andate  a  finire  nell'  intorno  di  Q ,  si  conclude 
che  Q  appartiene  a  C.  E  poiché  questo  vale  per  la  generica  C,  ne  deriva 
che  Q  è  un  punto  base  di  [C|,  contro  il  supposto.  L'ipotesi  iniziale  che 
le  A0  si  abbassassero  di  genere,  è  pertanto  assurda. 
Osservazione.  —  Diciamo  P,  ,  P2 , ... ,  P*  una  successione  di  punti  infi- 
nitamente vicini  di  G,  avente  Y origine  in  ?x  ,  e  G  il  gruppo  parziale  co- 
stituito da  quei  punti.  Supponiamo,  inoltre,  che  nell'intorno  di  Pft  non  si 
trovino  altri  punti  di  G.  Applicando  allora  il  precedente  ragionamento  alle 
superficie  d'ordine  l  assai  alto,  che  passano  con  molteplicità  convenienti 
pel  gruppo  G,  si  prova  che  la  generica  curva  sezione  di  F  con  una  *P{  per 
un  punto  qualunque  Q,  dell'intorno  di  1°  ordine  di  Pft,  ha  lo  stesso  genere 
della  sezione  di  F  con  una  generica  Ciò  significa  che  tutte  le  succes- 
sioni di  punti  multipli  propri  della  F,  son  contenute  nel  gruppo  G:  con- 
formemente a  quanto  abbiamo  enunciato  nella  prefazione.  Quest'osservazione 
non  occorre  affatto  nel  seguito;  ma  tuttavia  abbiamo  reputato  opportuno  di 
farla,  perchè  illumina  maggiormente  il  nostro  procedimento. 
3.  Si  trasformi  ora  birazionalmente  la  superficie  F  in  una  superficie  F' 
dello  Sr,  sulla  quale  le  curve  A',  omologhe  delle  A,  sieno  staccate  dagli 
iperpiani  dello  spazio.  La  F'  risulterà  allora  priva  di  punti  multipli  propri, 
e  si  potrà  enunciare  il  teorema: 
Una  superficie  algebrica  qualunque,  pud  sempre  trasformarsi  birazio- 
nalmente in  un'altra  priva  di  punti  multipli  propri. 
4.  Trasformazione  birazionale  d'dna  superficie  algebrica  in  dna 
affatto  priva  di  punti  multipli.  —  Continuando  ad  operare  sulla  super- 
ficie F'  ultimamente  ottenuta  in  Sr ,  consideriamo  le  forme  IT,  d'ordine  l 
assai  alto,  ciascuna  delle  quali  gode  della  proprietà  di  staccare  sopra  un 
(')  Si  tenga  presente  che  la  molteplicità  d'intersezione  di  una  superfìcie  e  di  una 
curva  —  che  non  stia  nè  tutta  nè  in  parte  sulla  superficie  —  in  ognuno  dei  punti  distinti 
e  infinitamente  vicini,  ad  esse  comuni,  si  valuta  come  se  i  punti  stessi  fossero  tutti  distinti. 
Ved.  Segre,  loc.  cit,  n.  5. 
