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iperpiano,  condotto  genericamente  per  ogni  punto  comunque  scelto  su  F', 
una  forma  aggiunta  alla  sezione  A'  di  P'  con  queir  iperpiano.  Si  possono 
subito  ottenere  forme  siffatte,  p.  es.  nel  modo  seguente  :  Si  proietti  Ff  da 
un  Sr-4  sopra  un  S3 ,  e  si  consideri  il  cono,  di  un  certo  ordine  m ,  che  dall'  Sr_i 
proietta  la  prima  polare  di  un  punto  generico  di  S3  ,  rispetto  alla  superficie 
proiezione  di  F'.  Aggregando  a  questo  cono  una  forma  qualunque  di  ordine 
l  —  m,  si  avrà  una  forma  d'ordine  l  soddisfacente  alla  richiesta  condizione, 
giacché  tale  forma  passa,  con  molteplicità  s —  1  almeno,  per  ogni  punto  s-plo 
di  F',  e  quindi  ('),  di  A'.  Le  formano  un  sistema  lineare,  perchè  il  fascio 
individuato  da  due  di  esse  appartiene  tutto  al  loro  sistema. 
In  forza  di  una  proposizione  da  me  altrove  dimostrata  (2),  si  può  sup- 
porre, crescendo  quanto  occorre  l ,  che  le  W  stacchino,  fuori  delle  interse- 
zioni fisse,  una  serie  lineare  completa  gns ,  sulla  generica  sezione  iperpiana  A'. 
Anzi,  nulla  vieta  anche  di  supporre  che  questa  serie  sia  priva  di  gruppi 
neutri;  bastando  all'uopo  di  scegliere,  p.  es.,  I  così  grande  che  risulti  n^>  2p, 
ove  p  è  il  genere  di  A'. 
Dicasi  M  la  curva  sezione  di  una  generica  H'  con  F',  fuori  delle  linee 
multiple,  ed  |M|  il  sistema  lineare  completo  individuato  da  M  (3).  Il  si- 
stema |M|  stacca,  sopra  una  qualunque  sezione  iperpiana  irriducibile  A0', 
una  serie  lineare  che  ha  la  dimensione  s,  perchè  il  sistema  residuo  com- 
pleto, |N|  =  |M  —  A'| ,  è  indipendente  dalla  scelta  della  sezione  iperpiana  A'. 
Dico  che  |MJ  non  può  avere  punti  base.  Se,  invero,  fosse  P  un  punto 
base  di  |M|,  sulla  generica  sezione  iperpiana  A0'  per  P,  il  sistema  |M| 
staccherebbe,  fuori  di  P,  una  gn>s ,  di  ordine  n'  <C>i.  Ora,  essendo  n^>2p, 
per  la  gn\  esistente  su  A',  si  ha  s  =  n — p,  donde  segue  s^>n'  —  p.  Ma 
ciò  è  assurdo,  perchè  sulla  A0',  che  ha  lo  stesso  gemere  p  di  A',  si  avrebbe 
una  serie  gnrs,  speciale,  di  dimensione  s^>p.  Risulta  anche,  da  ciò,  che  |M| 
stacca  sulla  sezione  di  F',  con  un  iperpiano  condotto  genericamente  per  un 
punto  qualunque  di  F',  una  serie  completa  priva  di  gruppi  neutri  (n  ^>  2p)  ; 
mentre  prima  questo  fatto  si  poteva  affermare  soltanto  in  relazione  alla 
generica  A'. 
Le  stesse  considerazioni  svolte  pel  sistema  |M| ,  si  possono  ripetere  per  |N|. 
Aumentando,  se  occorre,  /,  si  può  ottenere  che  |N|  stacchi  nella  generica  A' 
(*)  Ved.  l'Osservazione  del  ri.  8. 
(2)  Bertini  e  Severi,  Osservazioni  svi  Restsatz  per  una  curva  iperspaziale  (Atti 
della  R.  Accad.  delle  scienze  di  Torino,  43,  1908);  n.  1  della  mia  lettera  al  prof.  Bertini. 
(3)  Qui  occorre  il  concetto  di  sistema  lineare  completo  di  curve  sopra  una  superficie, 
e  l'unicità  del  sistema  lineare  completo  determinato  da  una  curva.  Com'è  ben  noto,  ciò 
può  stabilirsi  per  via  del  tutto  elementare,  come  ha  fatto  Enriques,  indipendentemente 
dalla  risoluzione  delle  singolarità.  Potremmo  anche  dimostrare,  senza  far  uso  della  riso- 
luzione delle  singolarità,  che  il  sistema  completo  |M|  coincide  con  quello  staccato  su  F 
dalle  HJ:  ma  ciò  è  superfluo. 
