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una  serie  lineare  completa  g^  con  v  ^>  2p  .  Si  trarrà  allora,  come  prima, 
la  conclusione  che  |N|  non  ha  punti  base  su  F'. 
È  poi  superfluo  di  aggiungere  che  tanto  |M|  quanto  |Nj  si  posson  sup- 
porre semplici.  Quanto  ad  |Mj ,  si  osserverà,  inoltre,  che  esso  non  può  possedere 
gruppi  neutri,  costituiti  da  punti  a  distanza  finita  tra  loro. 
Se  infatti  sono  P  e  Q  due  punti  di  F'  a  distanza  finita  tra  loro,  una 
generica  N,  insieme  con  una  sezione  iperpiana  per  P  e  non  per  Q,  dà  appunto 
una  M  che  passa  per  P  e  non  per  Q. 
Trasformiamo  birazionalmento  F',  mediante  il  sistema  semplice  jM|  ,  in 
una  superficie  F"  di  uno  spazio  S<j,  sulla  quale  gli  iperpiani  stacchino  le 
curve  M',  omologhe  delle  M. 
Poiché  |M|  non  ha  punti-base,  la  trasformazione  da  F'  ad  F''  non  in- 
trodurrà curve  fondamentali,  sicché  ad  ogni  punto  P  di  F'  non  corrisponde 
se  non  un  numero  finito  di  punti  di  F".  Sia  P'  uno  di  questi.  Si  consideri 
una  N  che  non  passi  per  P  :  il  che  è  sempre  possibile,  giacché  |N|  non  ha 
punti-base.  Dal  momento  che  su  F'  non  esistono  punti  associati  a  P  rispetto 
ad  |M|,  a  distanza  finita  da  P,  la  curva  N',  omologa  di  N,  non  passerà 
per  P'.  Diciamo  ora  A0'  una  generica  sezione  iperpiana  di  F',  perP;  ed  A0'-' 
la  curva,  priva  di  punti  multipli,  omologa  di  A0'  su  F''.  Alla  particolare  M, 
costituita  da  A0'  e  da  N,  risponde  su  F"  una  sezione  iperpiana  A0"-f-N', 
che  passa  per  P'  con  un  punto  semplice  (giacché  tal  punto  giace  necessa- 
riamente su  A0''  e  non  su  N'). 
Dunque  P',  che  è  poi  un  qualunque  punto  di  F",  è  semplice  anche 
per  la  superficie.  E  si  conclude  che: 
Ogni  superficie  algebrica  può  trasformarsi  birazionalmente  in  un'altra 
affatto  priva  di  punti  multipli. 
5.  Dimostrazione  del  lemma  a).  —  Il  dato  gruppo-base  G,  cui  si 
allude  nell'enunciato  del  lemma,  si  potrà  scindere  anzitutto  in  gruppi  par- 
ziali Gì  ,  G2 ,  ••• ,  costituiti  ciascuno  da  una  successione  di  punti  apparte- 
nenti ad  un  medesimo  ramo  di  curva  algebrica.  Si  sottintende  che  due  di 
questi  gruppi  parziali  potranno  avere  in  comune  l'origine  (dei  relativi  rami) 
ed  anche  alcuni  dei  punti  consecutivi;  cosicché,  nel  gruppo  Gì -f- G2-f- ••• , 
qualche  punto  di  G  potrà  esser  ripetuto  più  volte. 
È  chiaro  che,  quando  il  lemma  sia  dimostrato  per  questi  gruppi  par- 
ziali, se  ne  potrà  agevolmente  dedurre  la  sua  validità  anche  per  G.  Se, 
invero,  in  relazione  al  gruppo  G,-  il  lemma  è  soddisfatto  dalle  superficie 
d'ordine  l^Lj,  passanti  pei  punti  di  Gj  con  molteplicità  effettive  conve- 
nienti, profittando  delle  superficie  d'ordine  Zly,  composte  mediante  super- 
j 
fide  degli  ordini      ,  L2          passanti  nel  modo  debito  rispettivamente  per 
Gì  ,  G2 , ...  ,  si  verifica  subito  il  lemma  «)  in  relazione  al  gruppo  dato  G. 
Le  molteplicità  da  assegnarsi  per  le  superficie  d'ordine Z  L;.  nei  punti 
j 
Renhiconti.  1914,  Voi.  XXIII,  2°  Sem.  70 
