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di  G,  sono  precisamente  quelle  che  ivi  presentano  le  suddette  superficie 
spezzate. 
Possiamo  dunque  limitarci  al  caso  in  cui  il  gruppo  dato  G  è  costituito 
dai  punti  Px ,  P2 , ... ,  P^  consecutivi  sopra  un  ramo  di  curva  algebrica,  col- 
l' origine  in  P,. 
Si  operi  una  trasformazione  birazionale  dello  spazio  S  in  una  varietà 
razionale  normale  a  tre  dimensioni  S\  riferendo  proiettivamente  le  quadriche 
per  Pj  agi' iperpiani  di  uno  spazio  ad  otto  dimensioni.  Sulla  S',  che  è  priva 
di  punti  multipli,  si  avrà  una  superficie  fondameutale  tt/  (un  piano),  corri- 
spondente a  Pi ,  ed  i  punti  P2' , ... ,  Vh'  —  dei  quali  almeno  il  primo  su  71Y  — 
omologhi  di  P2 , ... ,  Pft  .  Si  trasformi  similmente  S'  in  una  varietà  razionale 
normale,  S",  priva  di  punti  multipli,  mediante  le  quadriche  (dello  spazio  Sg) 
passanti  per  P2\  Sopra  S"  si  avrà  una  superficie  n"  omologa  di  ni,  un'altra  7r2" 
omologa  di  P2'  (e  appoggiata  a  rcx"  secondo  una  retta),  ed  infine  i  punti 
P3"  , ... ,  ~Ph"  —  dei  quali  almeno  P3"  su  n2"  —  corrispondenti  a  P3' ,  ...  ,  Pft'. 
Si  prosegua  cos'i,  fino  a  che  si  arrivi  ad  una  varietà  razionale  normale, 
Sc,;),  priva  di  punti  multipli,  sulla  quale  si  abbiano  le  superficie  razionali 
7Ti(ft)  .  iti00  , ... ,  nk0i\  imagini  dei  punti  Pi  ,  P2 , ... ,  Pft  di  S.  Questi  punti  e 
superficie  son  evidentemente  i  soli  elementi  fondamentali  nella  corrispon- 
denza birazionale  tra  S  ed  S(?£)  (e  tra  S(ft)  ed  S). 
Alle  sezioni  iperpiane  di  S(ft>,  rispondono  in  S  le  superfìcie  (P,  di  un 
certo  ordine  L,  passanti  pei  P;  con  certe  molteplicità  effettive  s*.  e  non 
aventi  altri  punti-base.  Le  (P  —  diciamole  <t>0  —  uscenti  da  un  qualsiasi 
punto  Q  di  S,  a  distanza  finita  o  infinitesima  dai  P, ,  non  hanno  in  con- 
seguenza in  comune  nè  una  curva  nè  una  superficie  fissa,  che  sarebbe  fon- 
damentale per  la  trasformazione  tra  S  ed  S(ft) .  Ad  esse  rispondono  le  sezioni 
iperpiane  di  Scft\  passanti  per  un  punto  semplice  ben  determinato  Q00. 
Poiché  una  generica  di  queste  sezioni  non  contiene  alcuna  delle  superfìcie  th^\ 
ad  essa  risponderà  una  <Pfì  non  avente  nei  Pi  molteplicità  superiori  alle  s,. 
D'altra  parte  è  poi  chiaro  che  la  £>0 ,  corrispondente  ad  una  sezione  iperpiana 
non  tangente  ad  S(W  in  Q"£>,  ha  in  Q  un  punto  semplice. 
Profittando  delle  superfìcie  d'ordine  L  -j-  1  spezzate  ciascuna  in  una 
delle  suddette  <P  ed  in  un  piano  di  S,  si  verifica  subito  che  il  lemma  a) 
è  anche  vero  per  le  superficie  d'ordine  L  -f-  I  ;  e  così  di  seguito. 
6.  Dimostrazione  del  lemma  /?).  —  Quando  la  curva  A  varia  con 
continuità  nello  spazio,  tendendo  ad  una  posizione  limite  A0,  dello  stesso 
ordine  n  di  A,  la  congruenza  r0  delle  corde  di  A0  fa  certamente  parte 
della  congruenza  limite  di  quella,  r,  constituita  dalle  corde  di  A .  Al  più, 
potrà  darsi  che,  per  ottenere  la  congruenza  limite,  occorra  aggiungere  a  r0 
una  o  più  congruenze  di  rette,  che  più  non  sieno  corde  (nè  proprie  nè  im- 
proprie) di  A0 .  Comunque  sia,  l'ordine  h0  della  ro  risulta  non  superiore 
all'ordine  h  di  r. 
