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Ricorrendo  ad  una  proiezione  delle  A  ,  A0  da  un  punto  generico  dello 
spazio,  sopra  un  piano,  si  ottengono  i  loro  generi  p7p0- 
(n—l){n  —  2)           h              (n—  l)(n  —  2) 
V  =   o  —r  —  h    ,   p0  =  q  1  —  f  o—  K , 
ove  t  ,  t0  sono  gli  «  equivalenti  »,  in  punti  doppi,  dei  punti  multipli  di  A  ,  A0 
sfs  n 
(assunti  — - — -  punti  doppi  come  equivalenti  di  ogni  punto  s  pio).  Poiché 
ò 
la  proiezione  A0'  di  A0  ha  come  punti  multipli  per  lo  meno  i  limiti  dei 
punti  multipli  di  A'  proiezione  di  A ,  così  risulta 
h  -f  t  <  A«  +  To   •   K  <  h  ,  po<p. 
E  siccome,  inoltre,  A  -f- r  +  P  —  K  ~\~  To  -Ir  Po  i  se  .Po  »  sarà  t0  i , 
che  è  quanto  si  voleva  provare. 
Osservazione.  ■ — •  Il  teorema  reciproco  di  /?)  non  è  vero;  ma  si  può 
affermare,  tuttavia,  in  base  alle  relazioni  precedenti,  che,  se  aumenta  il  nu- 
mero dei  punti  multipli  della  A  variabile,  diminuisce  o  il  genere  di  A 
o  il  numero  de'  suoi  punti  doppi  apparenti  (o  ambedue  questi  caratteri). 
Per  avere  un  esempio  del  caso  in  cui  aumenta  il  numero  dei  punti  multipli 
di  A,  senza  che  tuttavia  si  abbassi  il  genere  della  curva,  consideriamo  il 
sistema  continuo  di  curve  A  ottenute,  in  S3,  proiettando  da  un  punto  ge- 
nerico 0,  di  S4 ,  un  fascio  di  sezioni  iperpiane  di  una  superfìcie  F  di  S4 , 
avente  un  punto  doppio  improprio  (isolato).  La  A0,  proiezione  della  sezione 
che  passa  pel  punto  doppio  improprio,  possiede  un  nuovo  punto  doppio  P0 
(rispetto  alla  generica  A),  e  tuttavia  ha  lo  stesso  genere  di  A.  Nel  passaggio 
da  A  ad  A0 ,  la  congruenza  delle  corde  di  A  si  spezza  nella  congruenza 
delle  corde  di  A0  e  nella  stella  (P0). 
7.  Dimostrazione  del  lemma  y).  —  11  fatto  enunciato  è  ben  noto  e 
d'immediata  dimostrazione  (')  pei  punti  multipli  distinti  di  A  o  pei  punti 
semplici  a  distanza  finita  dai  punti  multipli.  Basterà  dunque  stabilire  il 
teorema  per  una  successione  P,  ,  P2  , ... ,  P&  di  punti  di  A,  consecutivi 
sopra  un  ramo  della  curva,  avente  l'origine  in  P,  . 
Si  eseguisca  una  prima  trasformazione  quadratica  dello  spazio,  col  punto 
fondamentale  isolato  in  P,  e  che  sia,  pel  resto,  generica.  Alla  superficie  <P 
risponde  una  superfìcie  che,  per  ipotesi,  non  contiene  alcuna  parte  della 
curva  /)/,  corrispondente  a  Pi,  sulla  superficie  trasformata  F'.  La  <£'  passa 
inoltre  pel  punto  P'2  di/V,  omologo  di  P2 ,  e  il  cono  tangente  a  &  in  P's 
non  contiene,  per  ipotesi,  alcuna  parte  del  cono  ivi  tangente  ad  F';  sicché 
C)  Basta  riferirsi  alle  sezioni  di  F,#  con  un  iperpiano  generico  pel  punto  considerato. 
