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la  curva  A',  corrispondente  ad  A ,  ha  in  P2'  molteplicità  uguale  al  prodotto 
delle  molteplicità  che  ivi  hanno  F' ,  Ciò  significa,  in  altri  termini,  che  P2 
ha  per  A,  molteplicità  uguale  al  prodotto  delle  molteplicità  ivi  di  F ,  <2> .  Si 
eseguisca  ora  un'altra  trasformazione  quadratica  di  F',  ponendo  in  P2r  il 
punto  fondamentale  isolato:  se  ne  dedurrà  il  fatto  enunciato  pel  punto 
successivo  P3  di  A;  e  così  proseguendo. 
Osservazione  la.  —  Il  teorema  dimostrato  vale  anche  per  la  curva 
comune  ad  una  superficie  F  di  uno  spazio  Sr  e  ad  una  forma  <P  dello  stesso 
spazio.  Il  ragionamento  è  identico,  salvo  le  parole. 
Osservazione  2a.  —  Quando  si  considera  sopra  una  superficie  F  un 
numero  finito  di  punti,  semplici  o  multipli,  P,  ,  P2 ,  ...  ,  Pfe ,  consecutivi 
sopra  un  ramo  di  curva  algebrica  coll'origine  in  Pl5  usando,  come  prima, 
di  una  successione  di  trasformazioni  quadratiche,  si  possono  sciogliere  gli 
intorni  (di  1°  ordine)  di  quei  punti  in  altrettante  curve  effettive  distinte 
(irriducibili  o  no)  della  superficie  trasformata  F('£).  È  appunto  questa  possi- 
bilità che  ci  permette  di  considerare  senz'altro,  sulla  F  primitiva,  come  al- 
trettante curve  gì'  intorni  dei  punti  dati. 
È  lecito  pertanto  di  affermare,  ad  es.,  che  la  generica  curva  A  di  un 
sistema  lineare  |Aj,  tracciato  su  F,  non  può  possedere  un  punto  multiplo  va- 
riabile lungo  una  linea  infinitesima  semplice  della  superficie,  intorno  ad  un 
punto  (base  per  |A|)  semplice  o  multiplo  per  F  (1). 
Così  pure,  se  la  generica  A  non  ha  intersezioni  variabili  con  una  linea 
infinitesima  situata  nell'intorno  di  un  punto-base  del  sistema,  questa  linea 
si  potrà  trattare  esattamente,  come  se  fosse  un'effettiva  curva  fondamentale 
di  |AL 
Queste  osservazioni  ci  sono  occorse  nella  dimostrazione  del  n.  2. 
8.  Osservazione.  —  Nella  dimostrazione  del  n.  4  abbiamo  affermato 
che  ogni  punto  s-plo  per  la  sezione  C  di  una  superficie  Q>  dello  Sr  (?■>  3), 
con  un  iperpiaao  condotto  genericamente  da  un  punto  qualunque  P  di  4> , 
è  pure  s-plo  per  la  superficie  (2).  Crediamo  che  nessun  lettore  eleverebbe 
dubbi  su  quest'affermazione,  anche  se  non  c'intrattenessimo  a  giustificarla; 
tanto  più,  dopo  la  dimostrazione  del  lemma  y).  Tuttavia,  ad  abundaniiam, 
diamo  qui  la  dimostrazione  del  fatto  asserito. 
(')  Più  in  generale,  il  noto  teorema"  Una  curva  A  variabile  entro  un  sistema  lineare 
sopra  una  superfìcie  algebrica  F,  non  può  aver  punti  multipli  variabili  in  punti  sem- 
plici di  P»  (cfr.  p.  es.  Enriques,  loc.  cit.,  n.  5),  vale  anche  pei  punti  semplici  di  P  situati 
a  distanza  infinitesima  da  punti  o  lince  multiple  della  superficie.  Il  ragionamento  consueto 
si  riferisce,  è  vero,  a  punti  semplici  a  distanza  finita  da  punti  multipli  di  F;  ma  noi 
possiamo  ridurci  a  questo  caso,  assoggettando  la  data  superficie  alle  trasformazioni  indi- 
cate ai  un.  2  e  4;  giacché  ognuna  di  queste  trasformazioni  non  muta  mai  una  curva  della 
superficie  su  cui  si  opera,  in  un  punto  della  superficie  trasformata. 
(2)  Nel  n.  4  la  superficie  considerata  si  chiamava  F'  ed  A',  la  sua  sezione  iperpiana. 
Qui,  per  comodità,  abbiamo  adottato  notazioni  nuove  senza  apici. 
