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Partendo  da  ciò,  ho  dimostrato  (Astat.,  pag.  10)  che,  affinchè  un  dato 
sistema  (Pi ,  i\)  sia  in  equilibrio  astatico,  è  necessario  e  sufficiente  che 
siano  identicamente  nulle: 
1°)  la  somma  dei  vettori  delle  forze  applicate  ai  punti  del  corpo, 
cioè  il  vettore 
—  f , 
che  ho  chiamato  «  il  vettore  del  sistema  astatico  »; 
2°)  l'omografia  <rA  relativa  ad  un  punto  qualsiasi  A ,  invariabil- 
mente legato  al  corpo  ;  cioè,  perchè  sussista  l'equilibrio  astatico,  occorre 
e  basta  che  si  abbia: 
(2)  f=0    ,    ^  =  0, 
essendo  A  un  punto  arbitrariamente  fissato. 
2.  Ciò  premesso,  ammettiamo  che  in  una  data  configurazione  il  sistema 
(Pi ,  fi)  sia  staticamente  in  equilibrio,  cioè  che  la  formazione  di  2a  specie 
di  Grassmann-Peano, 
s  =  2{  P{  fi  , 
o  forza  motrice  del  sistema  statico  di  forze  [e  rappresentante  in  modo 
completo  il  wrench  di  R.  S.  Ball        sia  identicamente  nulla. 
Tale  forza  motrice  può  facilmente  mettersi  ^sotto  la  forma  (Astat., 
pag.  7  [8]) 
s  =  Af  +  \V<xA, 
cioè  s  è  la  somma  del  bipunto  Af  con  l'indice  (di  Grassmann)  del  vettore, 
Yga,  dell' omografia  del  sistema  relativa  al  punto  A  stesso;  e  perchè  sia 
nulla  (2)  occorre  e  basta  che  sia  nullo  il  suo  vettore  f  ed  il  bivettore  |V<rA, 
ossia,  dev'essere: 
(3)  f  =0    ,    YaA  =  0. 
Così  la  prima  delle  condizioni  (2)  è  verificata  (nella  configurazione  data, 
e  quindi  in  ogni  altra  configurazione  del  sistema);  ed  inoltre  si  ha  che, 
nella  configurazione  considerata,  l'omografia  aA  è  una  dilatazione  (A.  V.,  I, 
pag.  25  [1]). 
3.  Supponiamo,  ora,  che  l'equilibrio  statico  del  sistema  di  forze  sussista 
pure  dopo  che,  partendo  dalla  precedente  configurazione  d'equilibrio,  si  siano 
assoggettati  i  vettori  delle  forze  ad  una  rotazione  q  (od  isomeria  ad  inva- 
(')  K.  S.  Ball,  A  treatise  on  the  theory  of  screws,  2d  edit.,  Cambridge,  1900. 
(")  Ved.,  per  es.,  C.  Burali-Forti,  Corso  di  geometria  analitico-proiettiva  per  gli 
allievi  della  R.  Accademia  militare,  <ì.  B.  Petrilli.  Torino  1912,  pag.  2. 
