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riante  terzo  positivo:  A..  V.,  I,  pag.  50),  d'ampiezza  0,  ed  asse  il  vettore 
unitario  u ,  espressa  quindi  da 
(4)  q  =  q(6  ,  u)  =  cos  ti  -f-  (1  —  cos  61)  H(u  ,  u)  +  sen  6  u  A  , 
la  quale,  com'è  ovvio  (Asiat.,  pag.  7  [12]),  trasforma  l'omografia  (1),  re- 
lativa al  punto  A,  nella  nuova  omografia  a'A  =  Q<fA.  E  poiché,  per  il  n.  2, 
il  vettore  di  questa  omografia  deve  aucora  essere  nullo,  dovrà  essere,  per 
le  (3)  e  (4)  (A.  V.,  I,  pag.  43  [2]  ;  pag.  25  [3]  ;  pag.  28  [3]  ;  pag.  42  [2]) , 
(5)  2V((xrA)  =  (1  —  cos  ti)  (<rAu)A  u  +  sen  ti  Oau  =  0 . 
Se  indichiamo  con  h\\,  essendo  h  un  numero  reale,  la  componente  del 
vettore  <fA\i  secondo  l'asse  della  rotazione  q,  e  con  k\,  essendo  k  un  numero 
reale  e  v  un  vettore  unitario  perpendicolare  ad  u ,  la  componente  normale 
ad  u  dello  stesso  vettore  o^u,  si  ha  (A.  V.,  I,  pag.  23  [5]): 
o-Au  =  hu  -f-  k\  ,  (crAu) A  u  =  A'vA  u  ,  C<rA\i  =  (  1  !  ga  —  h)\\  —  kv , 
e  l'equazione  (5)  diventa: 
(5')  k(\  —  cos  6)  vA  u  +  sen  ti  \_(\xoA  —  li)  u  —  /<;vj  =  0 . 
Poiché  u  ,  v  ,  vA  u  formano  una  terna  unitario-ortogonale  (sinistrorsa) 
di  vettori,  affinchè  l'equazione  (5')  sia  verificata  occorre  e  basta  che  siano 
soddisfatte  le  relazioni  : 
(5")       k(l  —  cos  6)  =  0    ,    k  sen  ti  =  0    ,    sen  0(1,(Ta  —  h)  =  0 . 
Le  prime  due  relazioni  (come  si  vede  subito,  quadrando  e  sommando) 
sono  solamente  verificate  per  k  =  0 ,  oppure  per  6  eguale  ad  un  numero 
intero  di  2n,  cioè  di  giri  ;  e  poiché  nell'ultima  ipotesi  la  seconda  configu- 
razione d'equilibrio  coinciderebbe  con  la  prima,  mentre,  per  dato,  le  due 
configurazioni  sono  distinte,  dovrà  essere  necessariamente  k  =  0.  e  quindi 
0A\\  —  hn.  Similmente,  perchè  sia  verificata  l'ultima  delle  (5")  occorre  che 
JlaA  =  h,  poiché  è  sin  0=1=0,  avendo  escluso,  nella  condizione  d'equilibrio 
astatico  da  dimostrare,  che  6  sia  un  multiplo  di  ti,  cioè  di  semi-giri. 
Ne  deduciamo  così: 
C<JA\i  =  h0A .  li  —  crAu  =  0 , 
cioè  che  il  è  parallelo  ad  una  direzione  nulla  (A.  V.,  I,  pag.  12)  dell'omo- 
grafia G<rA . 
4.  Facciamo  ancora  l' ipotesi  che  l'equilibrio  statico  del  sistema  di 
forze  sussista  in  una  terza  configurazione,  ottenuta  applicando  ai  vettori  delle 
forze,  a  partire  dalla  prima  configurazione,  una  rotazione  q}  =  Qi{6t  ,  iij)  di 
ampiezza  0X,  non  multipla  di  un  semi-giro,  e  di  asse  il  vettore  unitario  Ui, 
non  parallelo  ad  u. 
