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Procedendo  come  nel  n.  3,  si  concluderà  che  anche  la  direzione  del 
vettore  n,  dev'essere  nulla  per  CoA;  ed  essendo  distinte  tali  due  direzioni 
nulle,  l'omografia  Gga  risulta  doppiamente  singolare  {A.  V.,  I,  pag.  12),  e 
perciò  è  una  diade.  Poiché,  d'altra  parte  (A.  V.,  I,  pag.  23  [5]),  C<fA  al 
pari  di  aA  (n.  2),  è  una  dilatazione,  potrà  scriversi: 
Oa  =  2pR{w  ,  V) , 
essendo  p  un  numero  reale,  e  v  un  vettore  unitario  normale  ad  u  ed  ili  ; 
se  ne  trae  I^Cc^)  =  2jo  =  2I1cA,  e  quindi: 
(6)  aA  =  p  —  2pR{\,Y). 
5.  Consideriamo  infine  la  rotazione  £>0(6»0 ,  u0) ,  che  è  necessario  appli- 
care ai  vettori  delle  forze  a  partire  dalla  seconda  configurazione,  per  ottenere 
la  terza  delle  configurazioni  di  equilibrio  dianzi  esaminate.  È  ovviamente 
£>o  =  «iO-1,  od  anche  (A.  V.,  I,  pag.  48  [3])  q0  =  q1Kq;  ed  il  vettore 
(asse)  u0,  e  l'ampiezza  00  di  questa  rotazione  possono  ad  esempio  ottenersi 
con  una  nota  costruzione  geometrica,  molto  semplice,  partendo  dai  vettori 
u  ,  Ui ,  e  dalle  ampiezze  6  ,  che  supporremo  —  com'  è  lecito  —  positive 
e  minori  di  2tt,  cioè  d'un  giro. 
Precisamente  ('),  sulla  sfera  di  raggio  unitario  e  centro  il  punto  arbi- 
trario 0,  il  triangolo  sferico  di  vertici  : 
U=  0  —  u  ,    Z7i  =  0  +  il!  ,  Z70  =  0  —  Ho , 
tale  che  u  A  ili  X  <C  0,  ha  i  suoi  angoli  in  U,  Ui  ed  U0  rispettivamente 
eguali  ad  \6,\di  ed  |S0.  Nel  nostro  caso  tale  triangolo  non  può 
avere  due  lati  retti,  poiché,  in  caso  contrario,  sarebbe  pure  rettangolo, 
contrariamente  all'ipotesi  fatta  sulle  ampiezze  delle  tre  rotazioni;  quindi, 
dei  due  lati  U~iU0,  D0U,  almeno  uno,  per  es.  l'ultimo,  non  è  retto. 
Ciò  premesso,  considerando  l'omografia  [n.  3  e  (6)] 
(7)  a'A  =  offA  =  pq  —  2joH(v  ,  qx) 
del  sistema  nella  seconda  configurazione  e  relativa  al  punto  A  dopo  quanto 
si  è  detto  nel  n.  3,  poiché  o-a=?o(Ta  è  l'omografia  del  sistema  nella  terza 
configurazione  d'equilibrio,  si  avrà  CcAiio  =  0;  ed  essendo,  per  le  (4)  e  (7) 
(A.  V.,  I,  pag.  28  [2]),  e  poiché  v  è  normale  ad  u, 
I,  a'A  =plxQ  —  2p\  X  qv  —  p(l  -}-  2  cos  6)  —  2p  cos  6  =  p , 
(')  Cfr.,  per  es.,  C.  Burali-Forti,  Isomerie  vettoriali  e  moti  geometrici,  Memorie 
della  R.  Accad.  delle  scienze  di  Torino  (2°),  voi.  XLV  (1914-15),  §  III.  n.  li,  ove  si 
troverà  anche  l'espressione  del  vettore  u0  e  dell'angolo  0„  della  rotazione  prodotto  di 
£>-'  per  ?1 . 
