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Questa  definisce  la  pressione,  nota  la  ifi.  La  (2),  o,  più  precisamente,  la 
1  1  * 
r  =  —  -Af  =  —  -¥, 
definisce  la  distribuzione  dei  vortici. 
Le  condizioni  al  contorno  consistono  n  eli  'esprimere  che: 
a)  tanto  il  fondo  y  =  0  del  canale,  quanto  il  pelo  libero  X,  sono 
linee  di  flusso  ; 
b)  su  X  dev'essere  p=p<>,  se  p0  designa  la  pressione  atmosferica,  che 
si  suppone  costante. 
Alla  condizione  a)  si  soddisfa,  com'  è  ben  noto,  imponendo  alla  tp  di 
assumere,  per  y  =  0  e  sopra  X,  valori  costanti  differenti;  poniamo,  così, 
j  j  y  =  0       su       y  =  0, 
|  xp  =  q     sopra     X  , 
per  cui  q  rappresenta  la  portata  della  corrente. 
In  quanto  alla  condizione  b),  tenuto  conto  dell'  ultima  delle  precedenti, 
essa  si  traduce  analiticamente  nel  modo  seguente  : 
(5)  (^)  ~  cos*ante  soPra  ^  • 
La  questione  analitica  generale  consiste  adunque  nella  ricerca  di  una 
linea  libera  X  e  di  una  funzione  *p{x  ,  y) ,  regolare  nella  striscia  accennata, 
soddisfacente  alla  (2)  e  alle  (4)  e  (5). 
2.  Se  fosse  ¥(tp)  =  0,  il  moto  della  corrente  sarebbe  irrotazionale. 
In  tal  caso  la  questione  è  stata  già  posta  ed  ampiamente  discussa  ('); 
ma  soltanto  per  soluzioni  approssimate  (onde  sinusoidali  e  onda  solitaria  (2)), 
si  posseggono  risultati  definitivi. 
Il  caso  più  semplice  di  moto  con  vortici  sarebbe  quello  che  corrisponde 
ad  una  uniforme  distribuzione  di  vortici,  cioè  ì?(ip)  =  costante. 
(')  Cfr.  Levi-Civita,  Sulle  onde  progressive  di  tipo  permanente  (questi  Rendiconti, 
1907,  voi.  XVI,  pp.  777-790). 
(a)  Cfr.  Lamb,  loc.  cit.,  pag\  398.  Una  piccola  modificazione  nella  determinazione 
della  costante  che  compare  nel  secondo  membro  della  (5)  ha  permesso  a  Korteweg  e 
de  Vries  di  mettere  in  luce  un  nuovo  tipo  di  profili  di  onde  periodiche  irrotazionali,  che 
gli  Autori  hanno  denominato  «  cnoidali  »  [Cfr.  Nota  II,  h.  6].  E  interessante  la  circostanza 
che  l'equazione  differenziale  corrispondente  è  dello  stesso  tipo  della  (15;  che  troveremo 
in  seguito.  La  diversità  di  segno  di  una  delle  costanti  conduce  però  a  differenti  integrali, 
e  quindi  a  distinte  forme  del  pelo  libero. 
