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ila  ile  (1)  risulta  che  a{(x)  definisce  la  velocità  sul  fondo  del  canale.  Si- 
stematizzando il  criterio  adoperato  da  lord  Rayleigh  nel  problema  del- 
l'onda solitaria,  e  che  ho  avuto  occasione  di  applicare  in  altre  questioni  ('), 
è  facile  di  vedere  che  si  può,  in  generale,  determinare  una  linea  libera  X  e 
la  funzione  in  guisa  che  sieno  soddisfatte  tutte  le  volute  condizioni 
di  contorno  (4)  e  (5).  Infatti,  esprimendo  la  seconda  delle  (4)  e  la  (5)  me- 
diante a,i(x)  e  le  sue  derivate,  a  norma  delle  (9)  e  (8),  si  ottengono  due 
relazioni  cui  devono  soddisfare,  sopra  X,  la  funzione  av(x)  e  le  sue  derivate. 
La  eliminazione  di  cii(x)  tra  esse  dà  luogo  ad  una  relazione  tra  x  e  y,  che 
è  l'equazione  del  pelo  libero  X.  Una  volta  stabilita  l'equazione  di  X,  la 
eliminazione  di  y  tra  essa  e  la  seconda  delle  (4)  definisce  la  ai  quale  fun- 
zione di  x. 
4.  La  esecuzione  effettiva  di  quanto  ho  ora  indicato  in  generale,  si 
compie  agevolmente  quando  è  lecito  di  trascurare,  nello  sviluppo  (9)  della 
i  termini  successivi  al  primo.  Si  ha  allora  : 
(10)  xp  =  aìy, 
mentre  la  seconda  delle  (4)  e  la  (5)  divengono  rispettivamente 
\  o.ìy  =  q, 
(11)  <  ni 
\  a\^a\y*  +  2gy  =  j-  +  2gli, 
Q 
avendo  chiamato  j-%  ~f~  2  gh  la  costante  del  secondo  membro  della  (5),  con  h 
fu 
arbitraria.  La  prima  delle  precedenti,  risoluta  rispetto  ad  y,  diviene 
(12)  «i  =  ^  ,    sopra    X  ; 
e,  derivando, 
(13)  ài*»  —  ?4> 
avendo  designato  con  y  la  derivata  di  y  rispetto  ad  x,  sopra  la  incognita 
curva  X. 
(')  Cfr.  Cisotti,  Sopra  il  regime  permanente  nei  canali  a  rapido  corso  (questi  Ren- 
diconti, voi.  XX,  1911,  pag.  633;  oppure  Zeitschrift  fiir  Math.  und  Phys.,B.  61,  an.  1912, 
pag.  76);  e  ancora,  Sopra  l'efflusso  a  stramazzo,  questi  Rendiconti,  voi.  XXI,  1912,  pag.  97; 
e  ancora  Sull'efflusso  di  un  liquido  pesante  da  un  orificio  circolare,  questi  Rendiconti, 
voi.  XXIII,  1914,  pag.  324. 
Rendiconti.  1914,  Voi.  XXIII,  2°  Sem.  73 
