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(o  CV),  varii  col  variare  della  superficie  nel  sistema  anzidetto.  Del  resto 
le  curve  Gh  (o  CV)..  possono  appoggiarsi  fra  loro  e  possedere  punti  multipli 
ordinari  nei  punti  Pj  (o  PV). 
Nella  presente  Nota  mi  propongo  di  ricercare  come  debba  essere  mo- 
dificato il  teorema  precedente,  quando  in  luogo  di  due  spazi  ordinari  si 
considerino  due  varietà  algebriche  a  tre  dimensioni. 
1.  L'illustre  prof.  Segre  nella  Memoria:  Intorno  ad  un  carattere  delle 
superficie  e  delle  varietà  superiori  algebriche,  pubblicata  negli  Atti  della 
R.  Accademia  delle  Scienze  di  Torino  (voi.  XXXI,  a.  1896),  ha  dimostrato 
questa  proprietà: 
«  Su  una  data  varietà  algebrica  a  tre  dimensioni  il  numero  dei  punti 
«  doppi  staccati  di  superficie  di  un  fascio,  diminuito  del  doppio  genere  della 
«  curva-base  (semplice  o  multipla)  e  del  doppio  carattere  (invariante  di 
«  Zeuthen-Segre)  delle  superficie  generiche,  dà  un  numero  che  non  muta 
«  se  si  cambia  il  fascio  di  superficie,  e  costituisce  quindi  un  carattere 
«  proprio  della  varietà  a  tre  dimensioni  » . 
Quindi  indicando  con  I  questo  carattere,  che  si  chiamerà  l'invariante 
di  Segre  della  varietà,  ed  inoltre  dicendo  ó  il  numero  delle  superficie  del 
fascio  dotate  di  un  punto  doppio,  p  il  genere  della  curva-base  ed  i  l'inva- 
riante di  Zeuthen-Segre  di  una  superficie  del  fascio  medesimo,  si  ha: 
(2)  l  =  ó  —  2p  —  2t . 
Questa  è  dunque  l'espressione  dell'invariante  I,  se  si  suppone  con  il 
Segre,, che  la  base  del  fascio  considerato  sia  una  curva  semplice,  o  mul- 
tipla, che  nel  primo  caso  contenga  dei  nodi  suoi  propri  ed  anche  dei  punti 
multipli  per  le  superfìcie  del  fascio. 
Ma  la  base  anzidetta  può  essere  formata  non  solo  da  più  punti  mul- 
tipli, ma  anche  da  più  curve  multiple  che  si  appoggino  fra  loro  e  passino 
con  più  rami  per  quei  punti.  Inoltre  il  fascio  che  si  sceglie  può  contenere 
una  o  più  superficie,  ciascuna  delle  quali  si  spezzi  in  due. 
In  tali  ipotesi  si  dimostra,  con  procedimenti  analoghi  a  quelli  tenuti 
dal  Segre,  che  l'invariante  I  è  dato  dalla  seguente  espressione: 
(3)  I  =  d  —  2  V  gh  —  2i  +  26  +  2t  +  2  V(7ra  —  1)  , 
h  a 
dove  ó  ed  i  hanno  i  significati  già  loro  attribuiti,  t  è  il  numero  dei  punti 
multipli,  e  6  -\-  l  quello  delle  curve  costituenti  la  base,  gh  il  genere  di 
una  di  queste  curve,  e  7ia  quello  di  una  curva  Aa,  secondo  la  quale  si 
tagliano,  fuori  della  base,  le  due  superficie  che  formano  una  superficie  com- 
