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posta  del  fascio;  le  somme  N   e  V  rispettivamente  estese  a  tutte  le  0-f-l 
h  a 
curve  della  base  e  a  tutte  le  curve  Aa  (')• 
2.  Ciò  premesso,  suppongasi  di  avere  due  varietà  algebriche,  a  tre  di- 
mensioni, W  e  W\  fra  i  punti  delle  quali  abbia  luogo  una  corrispondenza 
birazienale,  i  cui  elementi  fondamentali  soddisfino  alle  medesime  condizioni 
imposte  agli  elementi  analoghi  nel  caso  di  due  spazi.  Si  usino  ancora  le 
stesse  notazioni  in  questo  caso  adottate,  e  riguardo  alle  due  varietà  We  W 
si  ammetta  che  ciascuna  di  esse  sia  priva  di  singolarità,  epperò  immersa 
in  un  conveniente  iperspazio. 
In  una  qualunque  delle  due  varietà  date,  per  esempio  in  W,  si  prenda 
un  fascio  (F')  di  superficie  F',  che  abbia  per  base  una  curva  semplice  J", 
di  genere  p',  la  quale  sia  situata  in  posizione  generica  rispetto  agli  elementi 
fondamentali  della  stessa  W,  cioè  non  passi  per  alcuno  dei  punti  PV,  nè 
si  appoggi  alle  curve  CV  il  che  è  sempre  possibile.  Detto  ó'  il  numero 
dei  punti  doppi  del  fascio  considerato,  ed  V  l'invariante  di  Zeuthen-Segre 
di  una  sua  superficie,  l'invariante  1'  della  varietà  W  è  dato  dalla  formula: 
(4)  V  =  ó'  -2p'~  W. 
In  virtù  della  trasformazione  birazionale  che  ha  luogo  fra  i  punti  delle 
due  varietà  W  e  W,  all'anzidetto  fascio  (F')  di  W  corrisponde  in  W  un 
fascio  (F)  di  superficie  F,  del  quale  è  necessario  esaminare  tutte  le  par- 
ticolarità. 
a)  Ogni  superficie  F  possiede  i  punti  P;  e  le  curve  C*  di  W  come 
elementi  multipli  ordinari  secondo  determinati  gradi.  Fra  quei  punti  Pz 
debbono  essere  distinti  dagli  altri,  quelli  che  riescono  semplici  per  le  su- 
perficie F  ;  quindi  si  dirà  s  il  loro  numero,  e  t  quello  dei  rimanenti,  in 
modo  che  essendosi  già  indicato  con  a  il  numero  totale  dei  punti  fonda- 
mentali di  W,  è: 
(5)  t  =  G  —  s. 
(')  Si  osserverà  che  nel  caso  in  cui  la  base  del  fascio  sia  una  curva  semplice  con 
punti  multipli  per  le  superficie  del  fascio  medesimo,  la  formula  (3)  è  in  disaccordo  con 
la  (2),  perchè  nel  suo  secondo  membro  contiene  in  più  il  doppio  2f  del  numero  t  di 
quei  punti  multipli.  Ma  questa  contraddizione  è  soltanto  apparente.  Infatti,  l'influenza 
che  un  punto  P10  ha  sull'invariante  di  Zeuthen-Segre  di  una  superficie,  può  essere  fissata 
ad  arbitrio  (veggasi,  Segre.  loc.  cit.,  n.  4).  Ora,  per  conservare  all'espressione  (2)  l'aspetto 
ad  essa  dato  dal  Segre,  si  è  mantenuta  la  convenzione,  adottata  dal  Segre  stesso,  di 
aumentare  l'anzidetto  invariante  di  l — 1  unità  per  ogni  punto  W0  della  superficie.  Nella 
(3)  invece  si  è  convenuto  di  accrescerlo  di  l  unità,  e  ciò  perchè  cosi  la  formula  (3)  riesce 
più  comoda  per  l'applicazione  che  qui  deve  farsene,  ed  inoltre  la  relazione: 
i  +  oj  =  12pa  +  9 
che  lega  l'invariante  i  all'invariante  co  di  Castelnuovo-Enriques,  e  al  genere  aritmetico  pa 
della  superficie,  resta  in  ogni  caso  la  stessa. 
