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b)  Alla  curva  r\  base  del  fascio  (.!£'),  corrisponde  in  W  una  curva  r, 
che  ha  lo  stesso  genere  p'  di  quella. 
c)  La  curva  r  e  le  r  curve  Cft  costituiscono,  insieme  con  i  punti  Pj, 
la  base  del  fascio  (P). 
Quindi  detto  6  -f-  1  il  numero  complessivo  delle  curve  formanti  questa 
base,  si  ha. 
(6)  6  =  z. 
Inoltre,  se  si  indica  con  gh  il  genere  di  una  qualunque  delle  curve 
medesime,  si  ha  ancora: 
\  '  )  h  h 
essendosi  già  chiamato  gh  il  genere  di  una  curva  Cft. 
d)  Ad  una  superficie  F'0  del  fascio  (Ff),  che  passi  per  un  punto  fon- 
damentale PV  di  W,  corrisponde  nel  fascio  (F)  una  superficie,  che  si  spezza 
in  due:  nella  superficie  A,  corrispondente  al  punto  PV,  e  in  una  super- 
ficie B ,  che  con  la  precedente  costituisce  una  superficie  F.  Queste  due 
superficie  A  e  B  s' intersecano,  fuori  della  base  del  fascio  (F),  secondo  una 
curva  Aa,  i  cui  punti  corrispondono  biunivocamente  a  quelli  dell'intorno 
del  punto  PV  sulla  superficie  Fó,  e  quindi  la  curva  stessa  a«  è  del  genere 
zero.  Poiché  i  punti  fondamentali  PV  sono  per  ipotesi  à'\  così  si  hanno  e' 
curve  Ao".  epperò  indicando  con  na  il  genere  di  una  qualunque  di  esse, 
si  trova: 
(8)  2y(7ra  —  1)  =  —  2<r'. 
a 
e)  Fra  i  punti  di  due  superficie  corrispondenti  F  ed  F'  ha  luogo  una 
corrispondenza  birazionale. 
Per  questa  corrispondenza,  in  virtù  delle  ipotesi  fatte  (a),  esistono, 
sulla  superficie  F ,  s  punti  fondamentali. 
Inoltre,  la  superficie  F'  incontra  ogni  curva  CV.  in  un  numero  di 
punti  che  si  indicherà  con  m\r,  e  ciascuno  di  questi  è  un  punto  di  F'  fon- 
damentale per  l'anzidetta  corrispondenza.  Quindi  la  superficie  di  ¥'  possiede 
T^V  punti  fondamentali. 
UT 
Perciò,  detti  i  ed  V  gli  invarianti  di  Zeuthen-Segre  delle  superficie 
F  ed  F\  si  ha  ('): 
(9)  i  =  'i'  —       Jjn'Hr  . 
w 
(')  Segre,  loc.  cit.,  n.  7. 
