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f)  Ad  ogni  superficie  del  fascio  (P'),  dotata  di  un  punto  doppio, 
corrisponde  nel  fascio  (F)  una  superficie,  che  possiede  la  medesima  singo- 
larità. 
Inoltre,  le  superficie  F'  del  fascio  (F')  segano  sopra  ogni  curva  CV> 
di  genere      >  una  serie  lineare  d'ordine  m'u ,  la  quale  possiede 
2{m'hr  +  o'h,  —  1) 
punti  doppi.  Altrettante  superficie  del  fascio  (F')  riescono  dunque  tangenti 
alla  curva  CV  •  A  ciascuna  di  queste  corrisponde  nel  fascio  (F)  una  super- 
ficie fornita  di  un  punto  doppio. 
Quindi  indicando  con  6  il  numero  complessivo  dei  punti  doppi  di  questo 
fascio  (F),  ed  essendosi  già  chiamato  S'  quello  dei  punti  doppi  del  fascio 
(F'),  si  ottiene: 
(10)  à  =  J'  +  2y  WV  +  2Y?V  —  2t\ 
/;'  k' 
dove  t'  è  il  numero  delle  curve  CV- 
Ora  si  calcoli  l' invariante  I  di  Segre  della  varietà  W  per  mezzo  del 
fascio  (F).  Esso  è  dato  dalla  formula  (3),  nella  quale  al  posto  dei  termini 
del  2°  membro  si  pongano  i  valori  che  essi  hanno  nel  caso  attuale,  che 
sono  quelli  somministrati  dalle  formule  (5),  (6),  (7),  (8),  (9)  e  (10).  Così, 
e  tenendo  conto  della  (4),  si  trova: 
(11)  i  _  2(tf  +  x  -  y  Qh)  =  r  -  2(a'  +  t'  -  y  ?V) , 
k  W 
e  questa  è  la  relazione  cercata,  dalla  quale  si  ricava: 
«  Se  fra  i  punti  di  due  varietà  algebriche,  a  tre  dimensioni,  ha  luogo 
«  una  corrispondenza  birazionale,  con  soli  elementi  fondamentali  multipli 
«  ordinari,  la  differenza: 
(12)  (*'  +  r'-  yQ'k/)  -  (<r  +  t  -  £  9'v) , 
W  kf 
«nella  quale  <s,T,qk  e  à' , V ,  q\t  hanno  i  significati  dianzi  spiegati,  è 
«  eguale  alla  semidiiferenza  fra  i  due  invarianti  1'  ed  I  di  Segre  delle  due 
»  varietà  date  ». 
In  particolare,  se  queste  due  varietà  hanno  il  medesimo  invariante  di 
Segre,  la  relazione  (11)  si  riduce  alla  (lj,  cioè  a  quella  stessa  che  ha  luogo 
per  lo  spazio  ordinario. 
Infine,  esservando  che  la  differenza  (12)  non  può  essere  che  un  numero 
intero,  o  nullo,  dal  teorema  precedente  si  ricava  una  condizione  necessaria, 
perchè  fra  i  punti  di  due  varietà  algebriche,  a  tre  dimensioni,  possa  sta- 
bilirsi una  corrispondenza  birazionale,  con  soli  elementi  fondamentali  mul- 
tipli ordinari,  ed  è  che  i  due  invarianti  di  Segre  ad  esse  relativi  siano 
due  numeri  eguali,  oppure,  se  risultano  diversi,  entrambi  pari  o  dispari. 
